Раздел: Точные науки
РЕФЕРАТ

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. " e "xÎE $u: ║x-u║<e
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, " e Î(0,1) $ze ÎE\L ║ze║=1 r(ze,L)>1-e
Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e
Теорема: Чтобы L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.
Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор – AxàAx ₀ при xà x ₀
Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор - "¦x║≤1 $с: ║Ax║≤c
Теорема: A – ограниченный ó "xÎX ║Ax║≤c║x║
Теорема: Для того чтобы А был непрерывен ó чтобы он была ограничен
Теорема: {A _n } равномерно ограничена è {A _n }- ограничена.
Теорема: {A _n x} – ограниченно ó {║A _n ║}- ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║A _n -A║à0, nà ¥, обозначают A _nà A
Определение: Слабая сходимость - "xÎX ║(A _n -A)x║ _Yà 0, nà ¥
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {A _n } сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: Банаха-Штенгауза A _nà A nà ¥ слабо è 1) {║A _n ║}- ограничена 2) A _nà A, x’ÌX, x’=x
Теорема: Хана Банаха. A:D(A)àY, D(A)ÌX è $ A’:XàY 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2) ║A’║=║A║
Определение: Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a
Определение: Равностепенная непрерывность "t ₁ ,t ₂$ d: ║x(t ₁ )-x(t ₂ )║<e
Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение: Ядро – {xÎX | Ax=0}
Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X ^* :=L(X,E)
Определение: Сопряженный оператор A ^* : Y ^*à X ^*
Теорема: Банаха A:XàY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A ^-1 и ограничен.
Определение: Оператор А – обратимый
Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A ^-1 -ограничен.
Теорема: A ^-1$ и ограничен ó $m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XàY – линейный ограниченный функционал è $! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)
Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно ó " e>0 $ конечная e-сеть
Теорема: Арцела. MÌC[a,b] компактно ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. AÎ s(X,Y) ó A ^*Î
s (X ^* ,Y ^* )
Линейные нормированные пространства