Расчетно-графическая работа по высшей математике
1. Описание изделия
На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ).
Дополнительные сведения:
раствор конуса b = 30 ⁰
радиус цилиндра R = 5 см
расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см
расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см

2. Выбор системы координат

В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой.
Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2
+ l = + 2 = 7.7 (см)
таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:

Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина второго конуса - (0; -7.7; 0).

3. Аналитическое описание несущих поверхностей

Уравнение цилиндрической поверхности:
(х+2) ² +(y+2) ² = R ² ( I )
Параметризация цилиндрической поверхности:
(II)
Определение положения шва на цилиндрической детали:
потребуем, чтобы параметр uÎ . При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l -.
Уравнение первой конической поверхности:
(x + 7.7) ² tg ^2b = y ² + z ² (III)
Параметризация первой конической поверхности:
(IV)
Определение положения шва на первой конической детали:
потребуем, чтобы j Î [-psinb;psinb]
Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.
Уравнение второй конической поверхности:
(y+7.7) ² tg ^2b =x ² +z ² (V)
Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV) :
(VI)
(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).

4. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра

Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III) , получаем уравнение:
(-2+Rcos+7.7) ² tg ^2b =(-2+Rsin) ² +v ² , которое в дальнейшем преобразуется к виду:
v = v(u) = ± (VII)
Знак “ + ” соответствует “верхней” половине линий отреза, Z ³ 0 , знак “ - ” - “нижней” половине этой линии. При некоторых значениях параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.

5. Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке цилиндра

Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.

6. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса

Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I) , получаем уравнение:
(-7.7+rcosb+2) ² + (rsinbcos+2) ² = R ²
преобразуем:
(rcosb-5.7) ² + (rsinbcos+2) ² = R ²
r ² cos ^2b -2*5.7*rcosb+32.49+r ² sin ^2b cos ² +4rsinbcos+4-R ² = 0
r ² (cos2b+sin ^2b cos ² )+2r(-5.7cosb+2 sinbcos)+36.49-R ² = 0
Отсюда
r=r(j)= (IX)
a(j)=1- sin ^2b sin ² ;
b(j)=2(2sinbcos-5.7cosb);
c=36.49-R ² .
Линия пересечения симметрична относительно луча j=0; ветвь, соответствующая знаку “ - ” в формуле (IX) , посторонняя.

7. Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса

Подставляя параметризацию первого конуса (IX) , в уравнение второго конуса (V) , получаем уравнение:
(rsinbcos+7.7) ² tg ^2b =(-7.7+rcosb)2+r ² sin ^2b sin ² квадратное уравнение относительно переменной r.
После упрощения получим:
r ² (sin ^2b cos ² tg ^2b - cos ^2b -sin ^2b sin ² )+r(2d(sinbcos tg ^2b +cosb))+d ² (tg ^2b -1)=0
r=, (X)
где а = sin ^2b cos ² tg ^2b - cos ^2b - sin ^2b sin ² ;
b = d(sinbcos tg ^2b +cosb);
c = d ² (tg ^2b -1).

8. Выкройка второго конуса

Она идентична выкройке первого конуса.

9. Расчет выкройки цилиндрической детали

Подставляем в формулу (VII) конкретные числовые данные и рассчитываем несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу 1.
Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u£ ; отражая эту линию пересечения относительно прямой u=, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см.

10. Расчет выкройки конических деталей

Произведем расчет по формулам (j; r) по формулам (IX, X) . Результаты расчетов заносим в таблицы 2 и 3.
Возьмем сектор радиуса r ₀ =26см., и, учитывая симметричность относительно луча j=0, построим выкройку конической детали.

11. Изготовление выкроек деталей, сборка изделия

Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.