Интеграл Пуассона

Пусть ¦ ( x) , g ( x ) , xÎ R ¹ –суммируемые на [-p, p ] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку
f*g(x) = dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p ] и
c _n ( f*g ) = c _n ( f )× c _n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где { c _n ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
c _n = ^{- i n t} dt , n = 0, ± 1 , ± 2 , ¼
Пусть ¦ ÎL ¹ (-p , p) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦ _r ( x ) = _n ( f ) r| ^{n |} e ^{i n x} , x Î [ - p , p ] , ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦ _r (х) равны
c _n ( f _r ) = c _n × r| ^{n |} , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ¼, а это согласно (1) значит, что ¦ _{r (} x ) можно представить в виде свертки :
¦ _r ( x ) = , ( 3 )
где
, t Î [ - p , p ] . ( 4 )
Функция двух переменных Р _r (t) , 0 £r< 1 , t Î [ - p , p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,
P _r ( t ) = , 0£r < 1 , t Î [ - p , p ] . ( 5 )
Если ¦ Î L1 ( -p , p ) - действительная функция , то , учитывая , что
c _-n ( f ) = `c _n ( f ) , n = 0, ± 1 , ± 2 , ¼ , из соотношения (2) мы получим :

f _r ( x ) =

= , ( 6 )
где
F ( z ) = c ₀ ( f ) + 2 ( z = re ^ix ) ( 7 )

• аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ Î L ¹ ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦ _r (e ^ix ) , z = re ^ix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = . ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1 + e ( e > 0 ) функция и ¦ (x) = u (e ^ix ) , xÎ [ - p, p ] . Тогда
u (z) = ( z = re ^ix , | z | < 1 ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона P _r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=, | z | < 1+ e .
Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦ _r ( x ) при r® 1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ;
в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.

Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим


.
Следовательно,
.
Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
.

Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
Доказательство.
Покажем, что для и
, ( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

( К - абсолютная константа).
Пусть - такое число, что
.
Тогда для



.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что
,
( 14 )
для п.в. .

Согласно (13) при xÎ (-2p , 2 p)


Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p , p] и (14)
Из последней оценки получим

при n® ¥.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p , p] , когда точка re ^it стремится к e ^ix по некасательному к окружности пути.
Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [ -2p ,2p ] (т.е.
f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p,2p] и x-y=2p ) и f (x) = 0 , если | x|> 2 p .