Теория случайных функций

Дано:
Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУ равна b.
Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром a .
Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m .
Тип резервироавния - ненагруженный.
Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n (t) = ( x (t), d (t)) с координатами, описывающими:
- функционирование элементов
x (t) О {0, 1, 2} - число неисправных элементов;
- функционирование КПУ
d (t) О {0,1} - 1, если исправен, 0 - если нет.
Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что x (t) - однородный Марковский процесс.
Определим состояние отказа системы:
Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x (t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d (t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).
Таким образом, можно построить граф состояний системы:





0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов,
т.е. состояние n (t) = (0, d (t))
1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент,
т.е. состояние n (t) = (1, 1)
П - состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
т.е. композиция состояний n (t) = (1, 1), n (t) =(2, 0) - поглощающее состояние.
Найдем интенсивности переходов.
Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то получим:
вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5 a h) = 5 a h + o(h)
вероятность восстановления элемента: 1-exp(- m h) = m h + o(h)
Ю

Пусть

Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:



Пусть ,
т.е. применим преобразование Лапласа к .
Т.к. , то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

Ю
Ю
( - корни =0)
Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций :
Ю
Ю
Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:
,
где
,

Итак,
,
где

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. M T
(T - время жизни системы):

Ю