Паутинообразная модель моделирования динамики рыночных цен

План
Допущения
Паутинообразная модель с запаздыванием спроса
Паутинообразная модель с запаздыванием предложения
Заключение
Литература

Допущения
При рассмотрении паутинообразной модели для моделирования динамики рыночных цен важно ввести некоторые допущения. Для этой модели требуется построить функцию предложения, которая, если допустить, что имеется один продукт, может изменяться только его цена, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на данный товар (цены на другие товары, основные производственные фонды, характер применяемой технологии, налоги и дотации, природно-климатические условия) остаются неизменными, зависимостью предложения Q от цены p:
Q=S (p) (1)
Особенностью данной функции предложения является то, что для многих видов товаров она монотонно возрастает (S’ (p) >0) . Рост предложения при увеличении цены можно объяснить тем, что увеличивается оптимальный объем выпуска товара предприятием при увеличении его цены, а так же тем, что для производства высокорентабельного товара в отрасль включаются новые предприятия. При этом на плоскости Q0p кривая предложения задается уравнением p=MC (Q) и представляет собой геометрическое место точек минимумов линий постоянной прибыли (линия S на рис. 1) .
Следующая используемая функция — это функция спроса, которая имеет вид:
Q=D (p) (2)

в случае, когда потребитель предъявляет спрос на определенный товар, исходя из своих предпочтений и бюджетных ограничений. Причем если может изменяться только цена товара, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на него (цены других товаров, денежный доход, накопленные сбережения и т.п.) , остаются неизменными. Характерная особенность этой функции — ее монотонное убывание для многих видов товаров, при этом ее график (кривая D на рисунке 1) представляет собой геометрическое место точек на плоскости Q0p, в которых цена принимает максимально возможное значение на линиях постоянной полезности.
Функции спроса и предложения являются основными составляющими модели рынка товаров, поскольку они — по предположению — представляют собой решения оптимизационных задач, которые возникают перед участниками (“покупателями и “товаропроизводителями” ) .
Пересечение графиков спроса и предложения происходит в точке равновесия (точка А на рис. 1) , а соответствующая этой точке цена p=pe называется равновесной. Если цена на рынке выше равновесной, то предложение превышает спрос и возникает затоваривание. В этой ситуации товаропроизводители (продавцы) многих видов товаров готовы пойти на снижение цены с целью привлечения большего числа покупателей (например, если речь идет о скоропортящихся товарах) . Следовательно, при значениях цены выше равновесной происходит давление на нее в сторону уменьшения.
Если же цена на рынке ниже равновесной, то спрос превышает предложение, и товар становится дефицитным. В этой ситуации часть покупателей готова заплатить за товар более высокую цену, но снизить риск и с уверенностью приобрести товар (например, если образуется очередь покупателей, то стоящие в ее конце могут не получить товара) . Таким образом, при значениях цены ниже равновесной происходит давление на нее в сторону увеличения. Эти две тенденции приводят к тому, что на рынках многих видов товаров, как правило, устанавливается равновесие, при котором спрос равен предложению.
В силу свойств кривых спроса и предложения равновесное решение является устойчивым в том смысле, что если цена строго фиксирована и равна равновесной P=P _e , то товаропроизводитель, максимизируя прибыль, поставляет на рынок товар в количестве S (p _e ) =Q _e ; одновременно потребитель, стремясь максимизировать полезность, предъявляет спрос D (p _e ) =Q _e .
При установлении на рынке совершенной конкуренции равновесной цены объем товаров, предлагаемый товаропроизводителем и доставляющий ему максимум прибыли по данной цене, в точности равен спросу потребителя.
Динамические неравновесные модели рынка используются для анализа изменения переменных (цена, спрос, предложение) во времени в случае, когда цена в начальный момент отличается от равновесной. При этом процесс установления равновесной цены может быть описан различными моделями при использовании одних и тех же функций спроса (2) и предложения (1) .
Различают два подхода — непрерывный, в котором динамика цен описывается дифференциальным уравнением dp/dt = a (D (P) -S (p) ) , и дискретный, когда переменные на промежутке времени [t, t+1) принимаются неизменными. В последнем случае последовательным интервалам времени [t, t+1) соответствуют значения цены p _t , спроса D _t и предложения S _t . В зависимости от используемых гипотез в дискретной модели динамики цен происходит либо запаздывание предложения — в этом случае приходим к процессу
S (P _t+1 ) =D (P _t ) , (3) либо запаздывание спроса — в этом случае получаем
D (P _t+1 ) =S (P _t ) . (4)
Здесь предполагается, что функции предложения и спроса удовлетворяют следующим условиям: S’ (P) >0, D’ (P) <0.
В обоих случаях на плоскости Q0p соответствующий итерационный процесс изображается в виде паутины, которая “намотана” на кривые спроса и предложения. Это дало основание для общего названия дискретных динамических моделей.
Дискретные модели вида (4) представляют интерес потому, что в них более последовательно, чем в непрерывных, отражаются процедуры принятия решений.
Паутинообразная модель с запаздыванием спроса

Концептуальная модель любого процесса динамики цен включает взаимодействие трех подсистем, которые можно условно назвать “товаропроизводитель” , “потребитель” и “рынок” (рис. 2) . Паутинообразная модель (модель А ) , в которой спрос отстает от предложения на один период: D (P _t+1 ) =S (P _t ) , также вписывается в схему рис. 2.
Эта модель — одна из исторически первых динамических моделей рынка, отражающих поведение участников. Она служит хорошей иллюстрацией применения метода моделирования при анализе экономических процессов.
Значение модели А определяется еще и тем, что многие современные модели динамики цен, а также динамические модели макроэкономики приводят к “паутинообразному” процессу. Рассмотрим гипотезы, которые лежат в основе этой модели.
Гипотеза 1. Товаропроизводитель, принимая решение об объеме предложения, ориентируется на цену предыдущего периода.
Эта гипотеза означает, что товаропроизводитель прогнозирует цену следующего периода. Правда, прогноз здесь очень примитивный, опирается на логическую схему: “сегодня цена была P _t , если и завтра она будет равна P _t , то я получу максимальную выгоду при продаже товара в количестве S (P _t ) ” .
Гипотеза 2. Рынок всегда находится в состоянии локального равновесия .
Эту гипотезу можно трактовать, по Вальрасу, следующим образом. Вместо абстрактного, неодушевленного понятия “рынок” последний выступает в виде некоего человека-аукциониста, распоряжающегося на реальном рынке. Этот аукционист сначала устанавливает произвольные цены на товары, после чего участники рынка совершают условные сделки и сообщают об их результате аукционисту. Если спрос на некоторый товар оказался больше (меньше) предложения, то аукционист меняет первоначальные цены, поднимая (понижая) цену этого товара. Окончательные сделки совершаются лишь после достижения равновесия.
Другая трактовка этой гипотезы состоит в том, что задачей аукциониста является установление максимальной цены, при которой весь товар, поставляемый на рынок производителем, находит покупателя. Формально эти две гипотезы означают следующее: 1) объем предложения на рынке S _t+1 в каждый период времени t+1 определяется значением цены предыдущего периода при помощи функции предложения S _t+1 =S (P _t ) ;

2) на рынке в каждый период t+1 устанавливается равновесная цена P _t+1 , причем эта цена является решением уравнения D (P _t+1 ) =S _t+1 ; 3) потребитель предъявляет спрос, который при цене P _t+1 в каждый момент времени равен предложению S _t+1 , вследствие чего потребитель приобретает все, что ему предложено.
Принятое в модели А взаимодействие подсистем “потребитель” , “товаропроизводитель” и “рынок” может быть представлено в виде блок-схемы, изображенной на рис. 3.
Использование монотонных функций спроса и предложения позволяет построить последовательность цен P _t , где t — номер шага во времени. Действительно, в силу гипотезы (1) товаропроизводитель по значению цены P ₁ при помощи кривой предложения определяет S ₂ ; в силу гипотезы (2) на рынке устанавливается цена P ₂ (находится при помощи кривой спроса) ; в силу гипотезы (3) весь товар в количестве S ₂ находит потребителя; в силу гипотезы (1) товаропроизводитель, ориентируясь на цену P ₂ , определяет объем предложения S ₃ и т.д. (рис. 3) . Далее рассмотренный процесс повторяется.

Таким образом, сформулированные две гипотезы приводят к итерационному процессу (4) , где спрос запаздывает от предложения на один период.
Динамика цены (а также спроса и предложения) в рамках данной модели может быть изображена в виде кривой, которую называют либо паутиной, либо спиралью (рис. 4) . Поэтому в литературе паутинообразную модель иногда называют “динамической спиралью” . В случае, изображенном на рис. 4, последовательность цен P _t стремится к равновесному уровню p _e , и, таким образом, здесь со временем устанавливается равновесие.
Для ответа на вопрос, всегда ли в данной модели итерационный процесс (4) приводит к равновесию, рассмотрим случай, когда функции спроса и предложения линейно зависят от цены, т.е.
D (P) =Q _e -d (P-p _e ) , S (P) =Q _e +s (P-p _e ) . (5)
Здесь p _e — равновесное значение цены; Q _e — соответствующее равновесное значение спроса и предложения; d и s — угловые коэффициенты функций спроса и предложения.
В силу уравнений (5) итерационный процесс (4) может быть представлен в виде Q _e -d (P _t+1 -p _e ) =Q _e +s (P _t -p _e ) , или P _t+1 -p _e =-s (P _t -p _e ) /d.

Это значит, что числовая последовательность y _t =P _t -p _e , которая определяет отклонение текущей цены от равновесной, представляет собой знакочередующуюся геометрическую прогрессию

y _t+1 =qy _t (6) со знаменателем q = -s/d. Поэтому при s<d последовательность y _t стремится к нулю, что означает достижение в конце концов равновесия на рынке (этому случаю соответствует рис. 4) .
При s>d последовательность y _t неограниченно возрастает и амплитуда колебаний цен увеличивается (рис. 5) .
При s=d последовательность y _t последовательно принимает равные по абсолютной величине значения (рис. 6) . Как видим, характер динамики цен зависит в данной модели от отношения угловых коэффициентов функций спроса и предложения. Поэтому теоретически равновесное положение паутинообразной модели может быть и неустойчивым.
Паутинообразная модель с запаздыванием предложения
Сформулируем гипотезы одной из модификаций паутинообразной модели (3) с запаздыванием предложения (модель В ) .
Гипотеза 1. При определении объема предложения в каждый период времени товаропроизводитель ориентируется на спрос в предыдущий период.

Эта гипотеза приводит к росту (снижению) предложения в случае, когда спрос больше (меньше) предложения.
Гипотеза 2. Цена предлагаемого товара устанавливается товаропроизводителем на уровне, определяемом в соответствии с функцией предложения.
Здесь товаропроизводитель действует формально: он знает, что кривая предложения в некотором смысле оптимальна. Поэтому он полагает, что при определении уровня цен с помощью функции предложения предлагаемый объем товара будет оптимальным.
Гипотеза 3. Объем потребления не может превосходить ни объема предложения, ни объема спроса.
Эта гипотеза означает, что если предложение меньше спроса, то потребление равно предложению.
Если же спрос меньше предложения (т.е. имеет место избыточное предложение товара) , то потребление равно спросу, а непроданный товар приводит к затовариванию. Таким образом в данной модели связь между потреблением C _t , спросом D _t и предложением S _t в каждый период времени t можно представить в виде C _t =min (S _t , D _t ) . (7)
Последнее означает, что график кривой потребления модели В представляет собой линию SAD (рис. 7) .
Модель можно представить в виде блок-схемы, изображенной на рис. 8. Из этой блок-схемы видно, что в рассматриваемой модели происходит отставание предложения: S (P _t+1 ) =D (P _t ) .

Подчеркнем, что гипотеза (1) , выражающая реакцию производителя на несоответствие спроса D _t предложению S _t , и гипотеза (2) определяют модель предложения товаров.
Рассуждая формально, приходим к следующему. При заданных S ₁ и P ₁ , удовлетворяющих условию S ₁ =S (P ₁ ) , определяется спрос D ₁ , после чего для объема потребления получаем C ₁ =min (S ₁ , D ₁ ) .
В случае дисбаланса между спросом S ₁ и предложением D ₁ товаропроизводитель предлагает в следующий момент времени товар в объеме S ₂ =D ₁ , который он рассчитывает продать по цене P ₂ , определяемой из условия S ₂ =S (P ₂ ) , Далее процесс повторяется; графически его удобно представить в виде динамической спирали, изображенной на рис. 9.
Рассмотрим описанный итерационный процесс более подробно. На первом шаге, при цене P ₁ , имеет место избыточный спрос, вследствие чего потребление равно предложению. Так как в этом случае реализован товар в объеме S ₁ , что меньше равновесного значения Q _e , то товаропроизводитель теряет часть прибыли, поскольку и цена, как оказалось, занижена, и предложено товара меньше, чем могло бы быть продано.
Упущенная выгода заставляет товаропроизводителя увеличить цену товара и объем его предложения. Предполагая при этом, что спрос не изменится, он принимает решение увеличить выпуск до объема D ₁ . Предложение при таком объеме является, как надеется товаропроизводитель, оптимальным в случае, когда цена P ₂ удовлетворяет уравнению S (P ₂ ) =D ₁ . Это значит, что на втором шаге продавец (он же товаропроизводитель) устанавливает цены, используя кривую предложения.
Так как цене P ₂ соответствует спрос D ₂ , то в силу D ₂ <S ₂ потребление на втором шаге равно D ₂ (теперь часть предложенного товара не находит покупателя из-за высокой цены) . В результате такого дисбаланса предприятие вновь оказывается в проигрыше, недополучая часть прибыли.
Для улучшения ситуации на рынке в этом случае фирма должна сократить предложение и снизить цену. В соответствии с используемыми здесь допущениями, предложение должно снизиться до уровня спроса D ₂ , а цена — до уровня P ₃ , который определяется из условия S (P ₃ ) =D ₂ . Далее процесс повторяется.
Отметим, что в модели В , в отличие от модели А , динамическая спираль “наматывается” уже против часовой стрелки. Таким образом, изменение гипотез о поведении потребителя и товаропроизводителя привело к изменению направления движения по спирали на противоположное. Поэтому в модели В при линейных функциях спроса и предложения (5) колебания цен затухают и на рынке достигается равновесие при s>d.

Если же s<d, то в этом случае колебания цен увеличиваются, а при s=d, как и в модели А , происходит колебание цен с постоянной амплитудой. Как видим, изменение гипотез модели А привело не только к смене направления “наматывая” спирали, но, следовательно, и к изменению условия сходимости итерационного процесса на противоположное.
Итак, если итерационный процесс динамики цен в одной из рассмотренных моделей ( А или В ) сходится, то в другой — расходится.


Заключение
В заключении рассмотрим вопрос о соответствии моделей А и В реальному процессу потребления товаров. Сравнение основных допущений удобно провести, сведя их в табл. 1.

	Модель предложения	Модель потребления	Модель ценообразования
Модель А	предложение определяется по уровню цен в предшествующий период	потребляется все, что предлагается	цена задается на рынке из условия равновесия в соответствии с функцией спроса
Модель D	предложение определяется по уровню спроса в предшествующий период	потребление не превосходит ни предложение ни спрос	цена устанавливается продавцом в соответствии с кривой предложения

Как видим, обе рассмотренные модели рынка одного товара уязвимы, поскольку они достаточно просты и не учитывают многих факторов, способствующих установлению равновесной цены.

Литература
1. Лебедев В. В. Математическое моделирование социально-экономических процессов, М.: Изограф — 1997