Работа одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД-закон регулирования

Передаточная функция, переходная функция, регулятор, фиксатор нулевого порядка, оптимальное управление, цифровой -фильтр В данной курсовой работе предложено синтезировать и проанализировать работу одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД- закон регулирования. Оптимизация САУ производится по критерию максимальной динамической точности. В завершении был рассчитан цифровой фильтр, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие.
СОДЕРЖАНИЕ  
Введение
Определение параметров оптимальной настройки регуляторов
Переходные процессы в замкнутой системе при использовании непрерывного регулятора и их анализ
 Определение периода квантования цифрового регулятора и его параметров настройки
Анализ устойчивости САУ по критерию Джури и построение переходных процессов в цифровых системах
Расчет цифрового фильтра
Оптимальное управляющие воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части
Заключение
Список литературы
Приложение А
Введение
Развитие всех областей техники в настоящее время характеризуется широкой автоматизацией различных производственных процессов. При этом освобождается труд человека, повышается точность и скорость выполнения операций, что значительно повышает производительность производства.
Автоматизация обеспечивает работу таких объектов, непосредственное обслуживание которых человеком невозможно из-за вредности, отдаленности или быстрого протекания процесса.
В настоящее время резко увеличивается производство различного оборудования для автоматизации промышленности, а также внедряются новые типы автоматических устройств, основанные на последних достижениях науки и техники. Эффективное использование автоматики в народном хозяйстве возможно лишь при условии рационального решения задач на всех этапах ее разработки и освоения. Наиболее ответственным этапом при проектировании систем автоматизации является их синтез, расчет и последующий анализ, которые на сегодняшний день базируются на теории управления. Эта наука позволяет не только найти параметры, при которых система работает устойчиво, различные качественные показатели системы, но также и оптимизировать систему для более рационального использования различных ресурсов.
Определение оптимальных параметров настройки регуляторов
Определение оптимальных параметров настройки П-, ПИ-, ПИД-регуляторов производим по расширенных амплитудно-фазовым характеристикам.
Расширенной амплитудно-фазовой характеристикой звена или системы называют отношение вектора гармонических вынужденных затухающих колебаний на входе к вектору гармонических затухающих колебаний на входе.
Существуют два показателя степени затухания: Y — относительная степень затухания; m — логарифмический декремент затухания, которые связаны между собой следующим далее соотношением:
, (1.1)
Из предыдущей формулы (1.1) определяем значение логарифмического декремента затухания m:
, (1.2)
Система автоматического управления будет обладать требуемой относительной степенью затухания, если расширенная амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой система автоматического управления будет проходить через точку на комплексной плоскости (-1, j0) , т.е.
W _p (m, jw) * W _o (m, jw) = -1, (1.3) или -W _p (m, jw) = 1/ W _o (m, jw) , (1.4) Для получения расширенной амплитудно-фазовой характеристики необходимо в передаточную функцию подставить: p = -mw  + jw  = w (j-m) .

Рис. 1.1. Структура схемы непрерывной САУ
Передаточная функция нашего исходного объекта имеет следующий далее вид:
, (1.5)
 
, (1.6)
Формула (1.6) представляет собой инверсную расширенную амплитудно-фазовую характеристику объекта.

Так как заданное значение Y = 0.96, то по формуле (1.2) определим значение m и подставим его в предыдущую формулу расширенной амплитудно-фазовой характеристики, m = 0.512.

Перед тем, как определить оптимальные параметры настройки П, ПИ, ПИД регуляторов найдем частоту среза нашего объекта.
Частота среза — это такое значение частоты w = w _c , при котором значение амплитуды на выходе не превышало бы трех процентов от амплитуды при нулевой частоте.
Запишем выражение амплитудно-фазовой характеристики нашего объекта:
, (1.7)
Амплитудно-фазовую характеристику объекта можно найти из следующей формулы:
, (1.8)
где Re(w) — вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики; Jm(w) — мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики.
.
При нулевой частоте значение амплитуды равно 3.1.
Значит необходимо найти такое w = w _с , чтобы
= 0.03*3.1 = 0.093.
Таким образом, необходимо рассчитать уравнение
, (1.9)
Решением этого уравнения является то, что мы находим следующие параметры w = 0.417, следовательно, и w _c = 0.417.
Для определения оптимальных параметров регулятора необходимо решить уравнение (1.6) . Приравняв вещественные и мнимые части в уравнении (1.6) , можно получить расчетные формулы для определения параметров регуляторов [4, ст 250]:

• П-регулятор:

• Пи-регулятор:

• Пид-регулятор:

где С ₀ = 1/T _u ; C ₁ = K _p ; C ₂ = T _g .
Для ПИД-регулятора имеем два уравнения с тремя неизвестными, тогда задаемся отношением:

В этом случае расчет формулы для ПИД-регулятора принимает следующий далее вид:
где а = w(m ² +1) ; ; .
  Расчет оптимальных параметров настройки для П-регулятора представлен следующим образом: , (1.10)
Из второго уравнения системы (1.10) найдем w и подставим это значение в первое уравнение системы. При решении получи, что w = 0.354 и оптимальными параметрами настройки П-регулятора является значение К _р ^опт = 1.01.
Рассчитываем оптимальные значения параметров настройки для ПИ-регулятора.
Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находи точки С ₁ С ₀ и С ₁ , соответствующие требуемой степени затухания Y. Оптимальным параметром является точка на линии, равной степени затухания С ₁ С ₀ = f(С ₁ ) , лежащая справа от глобального максимума. Эти параметры обеспечивают:
.
Итак, запишем далее следующую систему уравнений для Пи-регулятора:
, (1.11)
Таблица 1.2
Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИ-регулятора

w	C 0	C 1	C 1 C 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.417 0.5	0 0.029 0.073 0.059 -0.09 -0.134 -0.443	-0.323 0.117 0.382 0.777 1.228 1.307 1.753	0 4.858*10 -4 0.028 0.046 -0.11 -0.175 -0.777

Рис. 1.2. График зависимости С ₁ С ₀ = f(C ₁ ) для Пи-регулятора
Максимальное значение функции С ₁ С ₀ = 0.048 при С ₁ = 0.694. Берем точку правее глобального максимума С ₁ = 0.777, С ₁ С ₀ = 0.0459. Решив систему уравнений (1.11) получим оптимальные параметры настройки К _р ^опт = 0.777, T _u ^опт = 16.928.
Рассчитываем оптимальные параметры настройка для ПИД-регулятора: , (1.12)
Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находим точки С ₁ С ₀ и С ₁ , соответствующие требуемой степени колебательности m = 0.512, решив систему (1.12) . Данные расчетов представлены в таблице 1.1. По эти данным построим график зависимости С ₁ С ₀ = f(С ₁ ) .
  Таблица 1.1
Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИД-регулятора

w	C 0	C 1	C 1 C 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.417 0.5	0 0.12 0.2 0.226 0.184 0.172 0.113	-0.323 0.097 0.485 0.913 1.447 1.556 2.206	0 0.012 0.097 0.207 0.266 0.268 0.25

 
Рис. 1.3. График зависимости С ₁ С ₀ = f(C ₁ )
Нужно взять точку, лежащую справа от глобального максимума. Максимальное значение С ₁ С ₀ =0.268, при С ₁ = 1.576. Берем точку С ₁ С ₀ = 0.2592 при С ₁ =1.9456. По этим значениям определим оптимальные параметры регулятора:

Таким образом, оптимальные параметры настройки для ПИД-регулятора:
 
Переходные процессы в замкнутых системах
Запишем выражение передаточной функции для системы в замкнутом состоянии:
, (2.1)
где
Тогда выражение (2.1) будут иметь вид:
, (2.2)
Найдем передаточную функцию для замкнутой системы с П-регулятором, т.е. W _p (p) = К _p . К _p — оптимальное значение, найденное в первом разделе, т.е. К _p = 1.01.
Передаточная функция замкнутой системы с П-регулятором имеет следующий вид:
, (2.3)
Переходная функция замкнутой системы:
, (2.4)
Найдем полюса функции (2.4) .
Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:
p( ) = 0.
Они равны: p ₁ = 0; p ₂ = — 0.435; p ₃ = — 0.181 — j0.34; p ₄ = — 0.181 + j0.34.
Переходная функция для замкнутой системы с П-регулятором будет иметь следующий вид: h(t) = 0.757-0.052e ^-0.424t * cos(0.254t) — 0.3857e ^-0.181t * sin(0.354t) .
Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.1.
 
Рис. 2.1. Переходный процесс в замкнутой системе с П-регулятором Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИ-регулятором, т.е.:
.
В качестве К _р и Т _u берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем К _р = 0.777 и Т _u = 16.928. Тогда выражение передаточной функции имеет следующий далее вид:
, (2.5)
Запишем передаточную функцию замкнутой системы с ПИ-регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1) :
, (2.6)
Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:
, (2.7)
Найдем полюса функции (2.7) .
Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:
p( ) = 0.
Они равны: p ₁ = — 0.421; p ₂ = — 0.075; p ₃ = — 0.149 — j0.29; p ₄ = — 0.149 + j0.29; p ₅ = 0.
Переходная функция для замкнутой системы с ПИ-регулятором будет иметь следующий вид: h(t) = 1- 0.0609e ^-0.421t — 0.757e ^-0.148t *cos(0.29t) -0.487 ^0.148t *sin(0.29t) -0.181e ^-0.075t
  Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.2.

Рис. 2.2. Переходный процесс в замкнутой системе с ПИ-регулятором
Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИД-регулятором, т.е.:
.
В качестве К _р , Т _u и Т _g берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем К _р = 1.9456, Т _u = 7.506, и Т _g = 0.976. Тогда выражение передаточной функции имеет следующий далее вид: , (2.8)
Запишем передаточную функцию замкнутой системы с ПИД-регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1)
: , (2.9)
Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:
, (2.10)
Найдем полюса функции (2.10) .
Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:
p( ) = 0.
Они равны: p ₁ = 0; p ₂ = -0.405 — j0.116; p ₃ = -0.405 + j0.116; p ₄ = -0.039 — j0.192; p ₅ = -0.039 + j0.192.
Переходная функция для замкнутой системы с ПИД-регулятором будет иметь следующий вид: h(t) = 1 — 0.2927e ^-0.404t *cos(0.1157t) - 0.032e ^-0.404t *sin(0.1157t) - 0.6934e ^-0.038t *cos(0.1918t) - 0.2055e ^-0.0388t *sin(0.1918t) .
Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.3.

Рис. 2.3. Переходный процесс в замкнутой системе с ПИД-регулятором  
Определение периода квантования цифрового регулятора и пересчет его параметров
Необходимо выяснить соответствие коэффициентов неопределенного и цифрового регуляторов. Для выбора периода измерений цифрового регулятора строим амплитудно–частотную характеристику замкнутой системы и определяем частоту среза, при которой значение амплитуды на выходе не превышает три проценты от амплитуды при нулевом значении частоты.
Для этого возьмем передаточные функции замкнутой системы (для всех типов регуляторов) , которые были найдены во втором задании курсовой работы.
Передаточная функция замкнутой системы с П-регулятором:
, (3.1)
Передаточная функция замкнутой системы с ПИ– регулятором:
, (3.2)
Передаточная функция замкнутой системы с ПИД-регулятором:
, (3.3)
Выражение амплитудно-частотной характеристики для системы с П-регулятором будет иметь следующий вид:
. (3.4)
Выражение амплитудно-частотной характеристики для системы с ПИ-регулятором будет иметь следующий вид:
. (3.5)
Выражение амплитудно — частотной характеристики для системы с ПИД-регулятором будет иметь следующий вид:
. (3.6)
Так как частота среза равна трем процентам от нулевого значения, то необходимо решить уравнение следующего вида: . (3.7)   При решении уравнений было получено:

• -частота среза для системы, имеющей в своем составе П-регулятор w _с = 2.25;
• -частота среза для системы имеющей в своем составе ПИ-регулятор w _с = 1.6738;
• -частота среза для системы имеющей в своем составе ПИД-регулятор w _с = 3.8194.

Частоту измерений принимают как:
, (3.8)
где w _c = 3.8194 (наибольшее значение) , при котором период квантования равен T ₀ = 0.411.
Так как полученное значение меньше заданного, то произведем пересчет параметров.
В общем виде дискретную передаточную функцию искомого элемента можно записать следующим образом:
. (3.9)
В нашем случае выражение (3.9) примет вид:
, (3.10)
где ; ; .
C учетом этих выражений необходимо пересчитать параметры непрерывных регуляторов в параметры цифровых.
Запишем передаточные функции непрерывных регуляторов:

• П-регулятор

W _p (p) = 1.01; (3.11)

• ПИ-регулятор

; (3.12)

• ПИД-регулятор

. (3.13)
После вычисления коэффициентов q ₀ , q ₁ и q ₂ дискретные передаточные функции будут иметь вид:

• П-регулятор

; (3.14)

• ПИ-регулятор

; (3.15)

• ПИД-регулятор

. (3.17)
Анализ устойчивости системы автоматического управления по критерию Джури и построение переходных процессов в цифровых системах
При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора) , фиксатора и приведенной непрерывной части.
Так как в системе имеет мести фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией вида:
, (4.1)
то с учетом того, что z = e ^–pT , эту функцию можно записать в следующем далее виде:
. (4.2)
Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части может быть записана в следующем виде:
. (4.3)
Так как , переходная функция линейной части системы, то z — передаточную функцию линейной части находим по следующему выражению:
. (4.4)
Найдем выражение для передаточной функции линейной части:
. (4.5)
Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:
( ) *р = 0.
Решив данное уравнение, мы получили, что его корни следующего вида: p ₁ = 0; p ₂ = — 0,2; p ₃ = — 0,33; p ₄ = -0,25.
Переходная функция линейной части имеет следующий вид: h(t) = -21,93e ^-0.2t –4.03e ^-0.33t +22.86e ^-0.25t +3.1. (4.6) С учетом формулы (4.4) получаем
.
После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:
. (4.7)
Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной части и передаточной функции цифрового фильтра:
. (4.8)
Дискретная передаточная функция замкнутой системы:
. (4.9)
Определим значение W ₃ (z) для каждой из систем:

• система с П-регулятором. W _р (z) = 1.01, W _{н. ч.} (z) — определена по формуле (4.7) , тогда:

; (4.10)  

• система с ПИ-регулятором.

;
W _{н. ч.} (z) — определена по формуле (4.7) , тогда:
; (4.11)

• система с ПИД-регулятором.

,
W _{н. ч.} (z) — определена по формуле (4.7) , тогда:
. (4.12)
После того, как получим выражение дискретных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.
Критерий устойчивости заключается в следующем.
Пусть задан А(z) — характкристический полином: A(z) = a ₀ z ⁿ + a ₁ ^n-1 + … + a _n , a ₀ > 0.
Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке: A(z) = a _n z ⁿ + a _n-1 ^n-1 + … + a ₀ .
Разделим A(z) на обратный ему. В итоге получаем частное от деления число q ₀ и остаток А ₁ (z) — полином n-1 степени.
Домножим полученный результат на z ^-1 . Получаем: A ₁ (z) = (a ₀ -a _n q ₀ ) z ^n-1 + … + (a _n-1 -a ₁ q ₀ ) .
Затем делим остаток A ₁ (z) на обратный ему A ₁₀ (z) и определяем новое q ₁ и A ₂ (z) и т.д.
Выполняя деление полиномов A _i (z) на обратные ему A _i0 (z) , получаем последовательность чисел q _i = {q ₀ , q ₁ , q ₂ , …, q _n-2 }.
Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы являются неравенства: А(1) =(a ₀ + a ₁ + a ₂ +…+a _n ) >0; (-1) ⁿ А(-1) =(a ₀ (-1) ⁿ + a ₁ (-1) ^n-1 +…+a _n ) >0; |q _i |<1, i=0,1,2, …, n-2.
Используя вышеизложенное, определим устойчивость наших систем.
Система с П-регулятором.
Характеристический полином имеет следующий вид: А(1) = 1 — 2.7544 + 2.5359 — 0.7817=0.003039>0.
(-1) ³ A(-1) = -(1 — 2.7544 + 2.5359 — 0.7817) >0.
А(z) = z ³ -2.7544z ² +2.5359z — 0.7817 Обратный полином .
Разделим A(z) на A ₀ (z) .

-( )	-0.7817=q 0 , |q 0 |<1

0,3852z-0,7686z ² +0,3888z ³
Домножим полученный результат на z ^-1 , тогда: A ₁ (z) = 0,3852-0,7686z+0,3888z ² , A ₁₀ (z) = 0,3888-0,7686z+0,3852z ² .
  Разделим A ₁ (z) на A ₁₀ (z) .

0,3852-0,7686z+0,3888z 2	0,3888-0,7686z+0,3852z 2
-(0,3852-0,7614z+0,3816z 2 )	0,99065=q 1 , |q 1 |<1

-0.00718z+0.00723z ²
Домножим полученный результат на z ^-1 , тогда: A ₂ (z) = 0.007238z-0.007187.
В результате расчетов получили, что q ₀ , q ₁ , q ₂ по модулю меньше единицы, таким образом, все три неравенства выполняются. Следовательно, цифровая система устойчива.
Система с ПИ-регулятором.
Характеристический полином имеет вид: Степень полинома n=4. Множество q _i = {q ₀ , q ₁ , q ₂ }.
А(1) = >0.
(-1) ⁴ A(-1) = >0.
.
Обратный полином: .
Разделим A(z) на A ₀ (z) .

0.78-3.326z+5.3001z 2 -3.756z 3 + z 4	1-3.7556z+5.3001z 2 -3.32z 3 +0.7834z 4
-(0.78-2.943z+4.152z 2 -2.606z 3 +0.61z 4 )	0,783447=q 0 , |q 0 |<1

-0,383z+1.147z ² -1.1506z ³ +0,3861 z ⁴
Домножим полученный результат на z ^-1 , тогда: A ₁ (z) = -0,383+1.147z-1.1506z ² +0,3861 z ³ , A ₁₀ (z) = -0,361+1.1506z-1.147z ² +0,383 z ³ .
Разделим A ₁ (z) на A ₁₀ (z) .

-0,383+1.147z-1.1506z 2 +0,3861 z 3	-0,361+1.1506z-1.147z 2 +0,383 z 3
-(-0,383+1.141z-1.138z 2 +0,3801 z 3 )	-0,992116=q 1 , |q 1 |<1

0,006046z-0,01207z ² +0,00605z ³
Домножим полученный результат на z ^-1 , тогда: A ₂ (z) = 0,006046z-0,01207z ² +0,00605z ³ , A ₂₀ (z) = 0,00605-0,005474z ² -0,006046z ³ .
Разделим A ₂ (z) на A ₂₀ (z) .

0,006046z-0,01207z 2 +0,00605z 3	0,00605-0,005474z 2 -0,006046z 3
-(0,006046z-0,01207z 2 +0,00603z 3 )	0,99774=q 2 , |q 2 |<1

-0,000027278z+0,000027353z ²
Домножим полученный результат на z ^-1 , тогда: A ₃ (z) = -0,000027278z+0,000027353z ²
В результате расчетов получили, что q ₀ , q ₁ , q ₂ по модулю меньше еденицы, таким образом, все три неравенства выполняются. Следовательно, цифровая система устойчива.
Система с ПИД-регулятором.
Характеристический полином имеет вид: Степень полинома n=5. Множество q _i = {q ₀ , q ₁ , q ₂ , q ₃ }.
А(1) = >0.
(-1) ⁵ A(-1) = >0.
, Обратный полином: .
Разделим A(z) на A ₀ (z) .

	0,01589163=q 0 , |q 0 |<1

0,7347z-3,1644z ² +5,102835z ³ -3,6802818z ⁴ +0,999747z ⁵
Домножим полученный результат на z ^-1 , тогда: A ₁ (z) = 0,7347-3,1644z+5,102835z ² -3,6802818z ³ +0,999747z ⁴ , A ₁₀ (z) = 0.99974 -3,680218z+5,1028z ² -3,1644z ³ +0,7347z ⁴ .
Разделим A ₁ (z) на A ₁₀ (z) .

0,7347-3,1644z+5,102835z 2 -3,6802818z 3 +0,999747z 4	0,7347-3,1644z+5,102835z 2 -3,6802818z 3 +0,999747z 4
-(0,7347-2.704z+3.750z 2 -2.3256z 3 +0.53999z 4 )	0,734938361=q 1 , |q 1 |<1

-0,4596z+1,3255z ² -1,3545z ³ +0,4597z ⁴
Домножим полученный результат на z ^-1 , тогда: A ₂ (z) = -0,4596+1,3255z-1,3545z ² +0,4597z ³ , A ₂₀ (z) = -0,4597+1,3545z-1,3255z ² +0,4596z ³ .
Разделим A ₂ (z) на A ₂₀ (z) .

-0,4596+1,3255z-1,3545z 2 +0,4597z 3	-0,4597+1,3545z-1,3255z 2 +0,4596z 3
-0,4596-1,3244z+1,3525z 2 +0,4595z 3	-0,99986442=q 2 , |q 2 |<1

-0,0288981z-0,02926z ² +0,91927z ³
Домножим полученный результат на z ^-1 , тогда: A ₃ (z) = -0,0288981-0,02926z+0,91927z ² , A ₃₀ (z) = 0,91927-0,02926z-0,02889881z ² .
Разделим A ₃ (z) на A ₃₀ (z) .

-0,0288981-0,02926z+0,91927z 2	0,91927-0,02926z-0,02889881z 2
0,0288981-0,0009198z+0,0.028898z 2	0,0314359=q 2 , |q 2 |<1

-0,0305301z+1.028762z ²
Домножим полученный результат на z ^-1 , тогда: A ₄ (z) = -0,0305301+1.028762z.
В результате расчетов получили, что q ₀ , q ₁ , q ₂ по модулю меньше единицы, таким образом, все три неравенства выполняются. Следовательно, цифровая система устойчива.
После того, как определили устойчивость системы по критерию Джури, необходимо построить переходный процессы в замкнутых цифровых системах.
Для построения переходных процессов в замкнутых цифровых системах воспользуемся обратным z-преобразованием.
Eсли функция имеет m-полюсов z _k ={z ₁ , z ₂ , …, z _n }, то:
, (4.13)
где A(z _k ) — числитель функции W ₃ (z) ; B ^’ (z _k ) — производная знаменателя функции W ₃ (z) ;   Замкнутая система с П-регулятором Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с П-регулятором имеет вид:

Переходная функция замкнутой системы равна:
.
Для вычисления f[n] найдем полюса функции
.
Полюса функции: z ₁ = 1; z ₂ = 0,8422; z ₃ = 0,954 — j0,313; z ₄ = 0,954 — j0,313.
Производная знаменателя функции: B ^’ (z) = -11.25z ² +10.574z-3.317+4z ³ .
Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13) , получим выражение для: где a= z ₁ ; b = z ₂ ; c = z ₃ ; d = z ₄ ;

Изобразим переходный процесс на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Переходный процесс в системе с П-регулятором
Замкнутая система с ПИ-регулятором Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид:
;.
Переходная функция замкнутой системы равна:
.
  Для вычисления f[n] найдем полюса функции
.
Полюса функции: z ₁ = 1; z ₂ = 0.847; z ₃ = 0.965; z ₄ = 0.973 — j0.0113; z ₅ = 0.973 + j0.0113.
Производная знаменателя функции: B ^’ (z) = 5z ⁴ -19.027z ³ +27.171 z ² -17.253z+4.110 Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13) , получим выражение для f[n]: где а = z ₁ ; b = z ₂ ; c = z ₃ ; d = z ₄ ; e = z ₅ ;

Изобразим переходный процесс на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Переходный процесс в системе с ПИ-регулятором
Замкнутая система с ПИД-регулятором Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИД-регулятором имеет вид:
.
Переходная функция замкнутой системы равна:
.
Для вычисления f[n] найдем полюса функции
.
Полюса функции: z ₁ = 1; z ₂ = -0,021; z ₃ = 0,84; z ₄ = 0,935-j0,171; z ₅ = 0,935+j0,171; z ₆ =0,98.
Производная знаменателя функции: B ^’ (z) = 6z ⁵ -23.347 z ⁴ +34.893 z ³ -24.39 z ² +7.505z-0.660 Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13) , получим выражение для f[n]:

где а = z ₁ ; b = z ₂ ; c = z ₃ ; d = z ₄ ; e = z ₅ ; f = z ₆ .
  Изобразим переходный процесс на рисунке 4.4.

Рис. 4.4. Переходный процесс в системе с ПИД-регулятором  
Расчет цифрового фильтра
Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие: |U _m — q ₀ |Ј 0,05, (5.1) где U _m = 1,0.
Вычисление значения q ₀ следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:
. (5.2)
Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра W _ф (z) имеет вид:
, (5.3)
где p _i = b _i q ₀ , i = 1,2, …, m; q _i = a _i q ₀ , i = 1,2, …, m;
.
Воспользовавшись формулой (4.7) для W _нч (z) , находим функции b _i , а _i и Т ₀ .
Для коэффициентов b _i имеем:
;(5.4)
;(5.5)
. (5.6)
Для коэффициентов а _i имеем:
;(5.7)
;(5.8)
. (5.9)
Найдем выражение для q ₀ :
. (5.10)
Определим Т ₀ при котором выполняется условие (5.1) , для этого построим график зависимости и изобразим его на рисунке 5.1.

Рис. 5.1. График зависимости |U _m — q ₀ (Т ₀ ) |
При построении графика видим, что Т ₀ = 4,61, q ₀ (Т ₀ ) = 1,002.
Определим коэффициенты, подставив найденное значение Т ₀ в выражение (5.4) и (5.5) : b ₁ (Т ₀ ) = 0,718; b ₂ (Т ₀ ) = 0,332; b ₃ (Т ₀ ) = -0,052; a ₁ (Т ₀ ) = -0,932; a ₂ (Т ₀ ) = 0,281; a ₃ (Т ₀ ) = -0,027; Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.
. (5.7)
. (5.8)
Находим Z — передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле: W _p (z) = W _{н. ч.} (z) * W _ф (z) . (5.9) Определим Z — преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание — управляющее воздействие по формуле:
, (5.10)
Определим Z — преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание — выходной сигнал по формуле:
, (5.10)
Пусть f — функция определяющая зависимость между q ₀ от Т ₀ , т.е. q ₀ =f(Т ₀ ) , тогда f ^–1 — обратная ей функция, т.е. Т ₀ =f ^–1 (q ₀ ) . Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию Т ₀ =f ^–1 (q ₀ ) с учетом условия (5.1) .
Так как в явном виде функцию Т ₀ =f ^–1 (q ₀ ) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке q ₀  О [3,45; 3,55] будет при q ₀ =3,55.
Расчет Т ₀ сводится к решению уравнения
. (5.11)
Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что Т ₀ =1,25.
Подставляя значение Т ₀ =1,25 в выражения (5.4) -(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.
Тогда
. (5.12)
При этом q ₀ =3,540075.
Согласно формуле (5.3)
. (5.13)
Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна W _р (z) =W _нч (z) * W _ф (z) и равна
. (5.14)
Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание — управляющие воздействие равна
(5.15)
и равна
.
Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание — выходная величина равна
(5.16)
и равна
.
Вычислим коэффициенты усиления по указанным каналам. По определению коэффициент усиления есть отношение изменения на выходе к изменению на входе в установившемся режиме, т.е.
. (5.17)
Так как
, (5.18)
то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, что j (Ґ) =1, а m (Ґ) =0,4. Так как D x(Ґ) =1, а j (0 _- ) =0 и m (0 _- ) =0, то коэффициент усиления по каналу задание — выходная величина равен 1, а по каналу задание — управляющие воздействие равен 0,4.
Построим переходную функцию цифрового фильтра. Она равна:
.
Для вычисления f[n] найдем полюса функции
.
Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса 1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го z=1. Для вычисления переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции
.
Производная данного выражения равна:
.
Тогда передаточная функция примет вид
.
Изобразим переходный процесс на графике.

Рис. 5.2. Переходная функция цифрового фильтра
Для построения переходных процессов в замкнутой цифровой системе по каналам задание — выходная величина и задание — управляющие воздействие воспользуемся уравнениями в конечных разностях.
Суть метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция цифровой системы
.
Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных разностях:
.
Значение искомой выходной величины равно
. (5.19)
Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция замкнутой цифровой системе по:
каналу задание — выходная величина y[k]=0,647726Ч x[k-1] –0,620803Ч x[k-2] –0,037272Ч x[k-3] +0,149369Ч x[k-4] –0,024633Ч x[k-2] –0,001394Ч x[k-2] +1,481007Ч y[k-1] –0,695097Ч y[k-2]+ +0,101098Ч y[k-3]; ·  каналу задание — управляющие воздействие y[k]=3,540075Ч x[k] –10,485749Ч x[k-1] +12,686121Ч x[k-2] – –8,004397Ч x[k-3] +2,770507Ч x[k-4] –0,497542Ч x[k-5]+0,036182Ч x[k-6]+ +1,481007Ч y[k-1] –0,695097Ч y[k-2]+ +0,101098Ч y[k-3].
Данные расчетов были сведены в таблицы с учетом того, что x[k]=1.
Таблица 5.1. Переходная функция замкнутой цифровой системе по каналу задание — выходная величина

k	y[k]
0	0
1	0,648
2	0,986
3	1
4	1

   
Оптимальное управляющее воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части
Оптимальное управляющие воздействие было найдено в пункте 5 и в координатах времени имеет следующий вид: m (t) =3,54(h(t) -h(t-T ₀ ) ) –1,703(h(t-T ₀ ) -h(t-2* T ₀ ) ) +(6.1) +0,758(h(t-2* T ₀ ) -h(t-3* T ₀ ) ) +0,4 h(t-3* T ₀ ) , где h(t) — функция Хевисайда; T ₀ — период квантования равный 1,25.
Тогда m (t) =3,54(h(t) -h(t-1,25) ) –1,703(h(t-1,25) -h(t-2,5) ) +(6.2) +0,758(h(t-2,5) -h(t-3,75) ) +0,4 h(t-3,75) .
Изобразим данное управляющее воздействие на графике.
Для нахождения реакции непрерывной линейной части на данное воздействие воспользуемся изображением Лапласа. Используя свойство линейность данного изображения и теорему запаздывания найдем, что j (t) = 3,54(g(t) — g(t-1,25) ) –1,703(g(t-1,25) -g(t-2,5) ) +(6.3) +0,758(g(t-2,5) -h(t-3,75) ) +0,4 h(t-3,75) , где g(t) =f(t) h(t) ,

– переходная функция линейной части, найденная нами в пункте 4.
Изобразим реакцию непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие.
Рис. 6.2. Реакция непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие На этом все построения окончены.
  Заключение
В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования является наилучшим среди рассмотренных.
Были проведены расчеты по использованию данных регуляторов в цифровых системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы — это системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной величины одинаково. Кроме того, развитие микропроцессорной техники и использование теории управления в цифровых системах позволяют создать регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.
Список литературы  

1. Колосов С. П., Калмыков И. В., Нефедова В. И. “Элементы автоматики” . — М. Машиностроение, 1970.
2. Пугачев В. И. Методические указания по курсу “Теория автоматического управления” для студентов всех форм обучения специальности 21.01 — автоматика и управление в технических системах. Часть I. — Краснодарский политехнический институт. Краснодар, 1990.
3. Пугачев В. И. Методические указания по курсу “Теория автоматического управления” для студентов всех форм обучения специальности 21.01 — автоматика и управление в технических системах. Часть III. — Краснодарский политехнический институт. Краснодар, 1995.