Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях.

Дано:
Для схемы:
U ₀ (t)= U ₀ =const U ₀ =5 В
i ₀ (t)=I _{0d 1} (t) I ₀ =2 A

1. Составить уравнения состояния для цепи при tі 0.


Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С ₁ и С ₄ . Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа:
(1)
Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния:

(2)
Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad:
1.2 Найти точные решения уравнений состояния.
Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния:
Общий вид точных решений уравнений состояния:
Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом:


Начальные условия (находятся из схемы):
Для нахождения постоянных интегрирования A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации.


При t=0:
Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния:
Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния:

При t=0:
Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их:
Точные решения уравнений состояния:


2. Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов.

Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:
Подставляя выражения производных из уравнений состояния:
h – шаг расчета =2*10 ^-6 с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий.
1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ)
e ^(A)t = a ₀ + a ₁ (A) e ^(A)t =
(X) = [e ^(A)t -1][A] ^-1 [B][V]

1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния.

Часть 2.
Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии.
Анализу подлежит следующая цепь:
Параметры импульса: U _m =10 В t _u =6*10 ^-5 c
Форма импульса:
2.1 Определить функцию передачи:
воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U ₀ (s)=1/s.
Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые:

Решаем эту систему:
Таким образом:
Функция передачи:
2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты. Полюсы:

Нули:
Плоскость комплексной частоты:
2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения.
Импульсная характеристика:
Выделим постоянную часть в H _U (s):
Числитель получившейся дроби:
Упрощенное выражение H _U (s):
Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя:
Коэффициенты разложения:
Оригинал импульсной характеристики:

Переходная характеристика:
Этим же методом находим оригинал характеристики:


2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.
Изабражение по Лапласу фукции f(t):
Входной импульс представляет собой функцию
Поэтому изображение входного сигнала будет

2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя H _U (s).
Изображение выходного сигнала:
Найдем отдельно оригиналы части выражения при и при части, не имеющей этого множителя:
Для части выражения при ,используя теорему о разложении:
Для части выражения не имеющей множителя ,используя теорему о разложении:
Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:

2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом – входной и выходной сигналы.
Переходная h ₁ (t) и импульсная h(t) характеристики.
Входной и выходной сигналы.

 
Часть 3.
Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии.
3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи H _U (s).
амплитудно-фазовая характеристика:

амплитудно-частотная характеристика:
фазо-частотная характеристика:
График АЧХ:
График ФЧХ:
3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0.707 .
Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи: с ^-1 .
3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0.1 .
Амплитудный спектр входного сигнала:
Фазовый спектр входного сигнала:
График амплитудного и фазового спектра входного сигнала:
Ширина спектра с ^-1 .
3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи.
Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*10 ⁴ с ^-1 , где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис.
3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала.
Получаются по формулам:


3.6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина.
Вещественная характеристика:

Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции.
График вещественной характеристики:
Тогда:
График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2.

Часть 4.
Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии.
Дано: T=18*10 ^-5 c. U _m =10 В. t _u =6*10 ^-5 c.
форма сигнала u ₀ (t):
4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры.
Коэффициенты ряда Фурье для u ₀ (t) найдём из следующего соотношения:

где w ₁ = 2 p /Т , k=0, 1, 2, ... w ₁₌ 3.491*10 ⁴ с.
Значения A _k и a _k приведены в табл. ,на рис. , построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u ₀ (t).

k	A k	a k
0	0	0
1	2.067	0.524
2	3.308	-0.524
3	2.774	-1.571
4	2.363	-2.618
5	1.034	2.618
6	0	1.571
7	0.413	-2.618
8	0.301	2.618
9	0	1.571

Таким образом, в соответствии с шириной спектра .

4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3.
4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.
Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений kw ₁ , k=0, 1, 2, ..., 8. Тогда

k	A k	a k
0	0	0
1	0.208	1.47
2	0.487	-0.026
3	0.436	-1.355
4	0.361	-2.576
5	0.15	2.554
6	0	1.443
7	0.054	-2.785
8	0.037	2.429
9	0	1.371

В итоге получим: