Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами 
Оглавление.

Наименование

Введение

§ 1. Некоторые вспомогательные определения

§ 2. Простейшие свойства модулей нерперывности

§ 3. Обобщение теоремы Джексона

§ 4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна

§ 5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию

§ 6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-Пуссена

§ 7. Основная теорема

§ 8. Решение задач

Литература

Введение
Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания.
Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов.
В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи:

1. При каких ограничениях на непрерывную функцию F ( u ) (-1 Ј u Ј +1) её наилучшие приближения E _n [ F ;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок j ( n ^-1 )?


1. При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f ( x ) её наилучшее приближение E _n [ f ] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок j ( n ^-1 )?

Подстановка u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2.
Мы ограничимся случаем, когда j ( d ) О N ^a , для некоторого a , где j ( d ) - функция сравнения р-го порядка и для 0< d <h Ј p

С.Н.Бернштейн, Д.Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для E _n [ f ] и дифференциальными свойствами f . Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками E _n [ f ] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бернштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство:
,
где m - некоторое число.
Наша основная теорема формулируется следующим образом:
Пусть j О N ^a . Для того чтобы

необходимо, чтобы для любого натурального k> a , и достаточно, чтобы для некоторого натурального k> a

где
Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы.
В § 1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе.
В § 2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте.
§ 3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную f ^(r) , то

Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции.
В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть

Тогда

В § 3 доказываем:
(*)
В § 4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем § 5.
В § 5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином t _n , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов { t _n } достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f . Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами t _n ?
Если t _n , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы равномерно относительно n . ( f ОH _k [w ], если ).
Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно n .
Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы , необходимо и достаточно чтобы
.
§ 6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения.
Известно предложение: пусть
.
Тогда, если a не целое, r= [a ], b =a - r , то f имеет нерперывную производную .
Случай целого a рассмотрен Зигмундом. В этом случае
.
Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0<a < k и
.
Тогда
.
В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий и .
Мы переносим эти теоремы на условия вида
,
где j О N ^a .
Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k - натуральное число и
;
для того, чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия
.
В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена.
В § 7 доказывается основная теорема. Мы даём здесь же оценку E _n [ f ] снизу, если
.
Именно, тогда

Случай a =0 установлен С.Н.Бернштейном [3].
В § 8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных модулей непрерывности.
§ 1. Некоторые вспомогательные определения.
В работе рассматриваются непрерывные функции f с периодом 2 p и их приближение тригонометрическими полиномами. Через t _n ( x ) обозначается тригонометрический полином порядка не выше n , а через t _n ^* ( x ) =t _n ^* ( x,f )-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся от f среди всех t _n (x) . Мы полагаем и пишем

Введём ряд определений.
Определение 1. При каждом фиксированном классом Липшица порядка a называется множество всех непрерывных функция f , модуль непрерывности каждой из которых удовлетворяет условию

где С ₈ -какая-нибудь положительная постоянная, которая не зависит от d и которая, вообще говоря, является различной для разных функций. Этот класс обозначается H^a или Lip a.
Определение 2. Обозначим при фиксированном натуральном r через W ^(r) L класс функций f , которая имеет абсолютно непрерывные производные до ( r- 1) порядка и у которой r -я производная принадлежит классу L .
Определение 3. Для непрерывной на [ a,b ] функции f ( x ) назовём модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности функцию w ( d ) =w (f; d ) , определённую на [ 0, b-a ] при помощи следующего равенства:
(1.1)
или, что то же самое,
(1.1’)
Свойства модуля непрерывности :

1. w(0)=0;


2. w(d) есть функция, монотонно возрастающая;


3. w(d) есть функция непрерывная;


4. w(d) есть функция полуаддитивная в том смысле, что для любых и

(1.2)
Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности.

Свойство 2) вытекает из того, что при больших d нам приходится рассматривать sup на более широком множестве значений h . Свойство 4) следует из того, что если мы число представим в виде h=h ₁ +h ₂ , и , то получим

Из неравенства (1.2) вытекает, что если то т.е.
(1.3)
Теперь докажем свойство 3). Так как функция f ( x ) равномерно непрерывна на [ a,b ], то при и, следовательно, для любых d ,
при
а это и означает, что функция w(d) непрерывна.
Определение 4. Пусть функция f ( x ) определена на сегменте [ a,b ] . Тогда для любого натурального k и любых и h>0 таких, что k-й разностью функции f в точке x с шагом h называется величина
(1.4)
а при и h>0 таких, что k-й симметричной разностью - величина
(1.4’)
Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство
(1.5)
Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k

то

Лемма доказана.
Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:
(1.6)
Доказательство. Воспользуемся индукцией по k . При k= 1 тождество (1.6) проверяется непосредственно:
.
Предполагая его справедливость при k- 1 ( k і 2), получим

Лемма доказана.
Определение 5. Если измеримая периода ( b-a ) функция f ( x ) ОL _q ( L _q -класс всех вещественных измеримых на [ a,b ] функции f ( x )), то под её интегральным модулем гладкости порядка k і 1 понимают функцию

Лемма 3. Если то справедливо
(1.7)
Доказательство. В самом деле,

и так далее. Лемма доказана.
Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [ a,b ], то под её модулем гладкости порядка k і1 понимают функцию

заданную для неотрицательных значений и в случае, когда k =1, представляющую собой модуль непрерывности.
Свойства модулей гладкости:

1. 


2. есть функция, монотонно возрастающая;


3. есть функция непрерывная;


4. При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство

(1.8)
а при любом -неравенство
(1.8’)
5) Если функция f ( x ) имеет всюду на [ a,b ] непрерывные производные до ( r- 1)-го порядка, и при этом ( r-1 )-я производная , то
(1.9)
Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что

2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.
3) Предполагая для определённости, что d>d ’ , получим

Этим непрерывность функции w_k (d ) доказана.
4) Используя равенство лемму 2 § 1, имеем
Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции w_k ( t ) и неравенства (1.8).
5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 § 1, получим

Определение 7. Пусть k -натуральное число. Будем говорить, что функция есть модуль непрерывности k -го порядка функции f , если

где -конечная разность функции f k -го порядка с шагом h :

Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k= 1 и k= 2. Случай k= 1 является классическим; вместо мы будем писать просто и называть эту функцию модулем непрерывности ; функцию мы будем называть модулем гладкости .
Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция -есть функция сравнения k- го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. определена для ,


2. не убывает,


3. ,


4. 

Нетрудно показать, что если f є 0, то есть функция сравнения k- го порядка (см. Лемму 5 § 2).
Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k -го порядка . Будем говорить, что функция f принадлежит к классу , если найдётся константа С ₁₀ >0 такая, что

Вместо будем писать просто H _k ^a .
Если для последовательности функций { f _n } (n=1,2,...)

где С ₁₀ не зависит от n , то будем писать: равномерно относительно n .
Понятие классов является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k -ю производную.
Определение 10. Зафиксируем число a >0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a ( p=- [- a ]). Будем говорить, что функция принадлежит к классу , если она
1) есть функция сравнения p -го порядка и
2) удовлетворяет условию: существует константа С ₁₁ >0 такая, что для

Условие 2) является небольшим ослаблением условия “ не убывает”. Функции класса N^a будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении.
Определение 11. Будем говорить, что функция имеет порядок , если найдутся две положительные константы С ₁₂ и С ₁₃ такие, что для всех t , для которых определены функции и ,
.
При выполнении этих условий будем писать
.
Определение 12. Ядром Дирихле n -го порядка называется функция
(1.10)
Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом
(1.10’)
Определение 13. Ядром Фейера n -го порядка называется функция
(1.11)
Ядро Фейера F _n ( t ) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка ( n-1 ). Так что имеют место равенства
(1.11’)
(1.11’’)
где D _k ( t )-ядра Дирихле.
Определение 14. Ядром Джексона n -го порядка называется функция
(1.12)
Свойства ядер Джексона.
а) При каждом n ядро J _n ( t ) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2 n -2 вида
,
где j _k =j _k ( n ) - некоторые числа

б)
в)
г)
Доказательство.
а) Учитывая, что для ядер F _n ( t ) Фейера имеют место равенства
получим

где j _k ( k =1,2,...,2 n -2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем

Этим свойство а) доказано.
б) Это равенство следует из равенства, полученного для j ₀ .
в) Так как при любом и при ( ** ), то

г) Совершенно аналогично случаю в) получим

Что и требовалось доказать.
Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция
, (1.13)
n =1,2,3,..., k -натуральное, где
(1.13’)
Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:
а)
б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро J _n,k ( t )
является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k ( n -1)
в) n ^2k- 1 , т.е. существуют постоянные С ₁₄ > 0 и С ₁₅ >0, такие, что при всех n =1,2,3,... будет

г) При любом s >0 имеет место неравенство

д) При любом натуральном

Доказательство свойств ядер типа Джексона.
а) Это свойство вытекает из равенств определения
б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет
(1.14)
где - некоторые целые числа.
в) Учитывая неравенства (**), будем иметь
(1.15)
С другой стороны
(1.15‘)
г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)

д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)
(1.16)
где A-const , а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sin t Јt , при всех t і 0 (***), имеем
(1.16‘)
A ₁ -const . Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.
 
 
§ 2. Простейшие свойства модулей нерперывности.
Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции f ₁ , f ₂ , ... - непрерывны.
ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого d і 0
(2.1)
Доказательство: по определению,

Лемма доказана.
ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, l<k. Тогда для любого d і 0
(2.2)
и
(2.3)
Доказательство: Положим

Тогда для 0 Јl<k имеем

откуда

Отсюда при l =0 вытекает, что
,
а при 0< l < k

Полагая в (2.3) l =1, находим, что

Из этого неравенства видно, что для любого натурального k
. (2.4)
ЛЕММА 3. Для любого натурального k модуль непрерывности k -го порядка является непрерывной функцией от d .
Доказательство: Пусть Имеем

Отсюда

и

Таким образом

и так как при , то отсюда вытекает непрерывность функции , и лемма доказана.
ЛЕММА 4. Пусть k и p -натуральные числа. Тогда для любого d і0
(2.5)
Доказательство: Индукция по k даёт формулу

Отсюда

и

Лемма доказана.
ЛЕММА 5. Пусть k -натуральное число, d >0, h >0. Тогда
(2.6)
Если кроме того 0<d < h , то
(2.7)
Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для hЈd . Найдём натуральное число p из условий
(2.8)
Тогда h< p d ^-1 , и так как -является неубывающей функцией от h , то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим

Рассмотрим случай для h<d . Найдём натуральное число p из условий
(2.9)
Тогда h< p d , и так как -является неубывающей функцией от h , то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим
,
и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как d+hЈ2h для 0<d < h .
Неравенство (2.7) показывает, что для любой f є 0 и любого натурального k
(2.10)
Лемма доказана.
ЛЕММА 6. Пусть f имеет r-ю производную f ^(r) . Тогда
(2.11)
и для любого натурального k
(2.12)
Доказательство: Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы

Если k =0, то мы получаем формулу (2.11). Лемма доказана.
 
§3 . Обобщение теоремы Джексона.
Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами.
Лемма 7. Пусть дано натуральное число k . Существует последовательность ядер {K _n ( t )}( n =0,1,...), где K _n ( t ) есть тригонометрический полином порядка не выше n , удовлетворяющая условиям:
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядер K _n ( t ) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить

где k ₀ -целое, не зависит от n , натуральное p определяется из неравенства
,
а b _p выбираются так, чтобы была выполнена нормировка (3.1).
Лемма 8. Если последовательность ядер { K _n ( t )} удовлетворяет всем условиям предыдущей леммы, то
(3.4)
Доказательство. Имеем, пользуясь (3.2) и (3.3)

Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть k -натуральное число. Тогда
(3.5)
Доказательство. Пусть последовательность ядер { K _n ( t )} ( n =1,1,2,...) удовлетворяет всем условиям леммы 7. Положим

Очевидно, есть тригонометрический полином порядка не выше n -1. Оценим Имеем

Поэтому
(3.6)
Оценим последний интеграл. Полагая в неравенстве (2.6) , получим, что

Отсюда и из (3.4) следует:

Подставляя эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
Следствие 1.1. Пусть k -натуральное число, r -целое неотрицательное. Тогда
(3.7)
В самом деле, согласно (2.12)

и применение теоремы 1 даёт (3.7).
 
§4 . Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна.
В этом параграфе формулируется одно обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от тригонометрического полинома.
Теорема 2. Пусть . Тогда для любого натурального k
(4.1)
и неравенство обращается в неравенство в том и только в том случае, если

Доказательство этого неравенства опубликовано в работе С.Б.Стечкина [2].
Отметим несколько следствий из этого неравенства.
Следствие 2.1. (неравенство С.Н.Бернштейна):
(4.2)
Полагая в (4.1) , получаем

(это неравенство доказано С.М.Никольским [5]) но по лемме 2 §2 ,

откуда и следует (4.2).
Два последних неравенства одновременно обращаются в равенство только в случае, если

Следствие 2.2. Пусть . Тогда
(4.3)
Первое неравенство совпадает с утверждением теоремы 2, а второе вытекает из оценки
(4.4)
Таким образом, для средний член в (4.3) заключен между двумя пределами, зависящими только от q .
Следствие 2.3. Пусть . Тогда
(4.5)
В частности,
(4.6)
Следствие 2.4. Пусть Тогда
(4.7)
В частности, для имеем
(4.8)
В самом деле, из (4.4) или (2.12) следует:

и остается воспользоваться неравенством (4.5).
Следствие 2.5. Пусть Тогда
. (4.9)
Вторая половина неравенства совпадает со следствием 2.4, а первая непосредственно вытекает из (2.7).
 
§5 . Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию.
В этом параграфе устанавливается, что если тригонометрический полином t _n ( x ) близок к заданной функции f , то его модули непрерывности можно оценить через модули непрерывности f .
Теорема 3. Зафиксируем натуральные числа k и n и пусть
(5.1)
Тогда для любого
(5.2)
(5.3)
(5.4)
и
(5.5)
Предварительные замечания. Неравенства (5.2) и (5.4) предпочтительнее для больших d , а (5.3)-для малых. Если , то (5.2) сильнее, чем (5.4); однако (5.4) имеет более симметричную форму и часто удобнее в приложениях.
Доказательство. Докажем (5.2). Пользуясь (2.1), (2.2) и (5.1), имеем

Докажем (5.5). Положим в (5.2) . Тогда получим :

после чего (4.5) даёт (5.5).
(5.3) следует из (5.5) в силу (2.11).
Остаётся доказать (5.4). Пусть сперва . Тогда из (5.4) следует:

Рассмотрим, наконец, случай . Из неравенства (2.7) выводим

Подставляя эту оценку в (5.3), получаем (5.4) для .
Таким образом, теорема полностью доказана.
Следствие 3.1. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n
(5.6)
Тогда для любого d >0
(5.7)
равномерно относительно n .
Следствие 3.2. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n

Тогда
(5.8)
Теорема 4. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы
(5.9)
равномерно относительно n.
Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то .
Теорема 5. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы
(5.10)
Это доказывается аналогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться следствием 3.2.
Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые части явно зависят от константы С ₂₀ . Таким образом, если вместо фиксированного номера n и одного полинома t _n рассматривать последовательность полиномов { t _n } ( n =1,2,...), то С ₂₀ окажется, вообще говоря, независящей от n и теорема 3 даёт оценки, не равномерные относительно n . Покажем как избавиться от этого неудобства.
Теорема 6. Пусть для некоторого натурального k
(5.11)
и
(5.12)
Тогда для любого d >0
(5.13)
равномерно относительно n .
Доказательство. Пусть сперва . Из неравенства (5.2) следует, что

и на основании (5.11)
(5.14)
Рассмотрим случай . Положим в (5.14) . Тогда получим

Из этого неравенства, в силу (4.7), следует, что

Но так как, по условию, , то

Отсюда

Окончательно,

и теорема доказана.
В следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничения (5.11) теоремы 6.
 
§6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и
Ш. Валле-Пуссена.
В этом параграфе обобщаются и уточняются так называемые “обратные теоремы” теории приближения. Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции f , если известны свойства последовательности её наилучших приближений { E _n }.
Лемма 9. Зададим натуральное число k , и пусть
(6.1)
и
. (6.2)
Тогда
(6.3)
Доказательство. Имеем, согласно (2.1),

Но из (2.10) и (6.2) получаем

а из (2.2) и (6.1)

Поэтому

левая часть этого неравенства не зависит от n , а поэтому

и лемма доказана.
Для получения хороших оценок обычно достаточно взять . Однако на исключена возможность, что в некоторых случаях другой выбор может оказаться предпочтительнее.
Теорема 7. Пусть k -натуральное число, функция не убывает и
(6.4)
Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия
(6.5)
Доказательство. Необходимость условия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установим его достаточность, для чего воспользуемся леммой 9. Получаем:

Положим здесь ; тогда для будем иметь и поэтому

и теорема доказана.
Отметим два следствия из этой теоремы.
Следствие 7.1. Пусть k -натуральное число, функция не убывает и
(6.6)
Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия
(6.7)
Следствие 7.2. Пусть k -натуральное число и Если

и
(6.8)
то

равномерно относительно n .
Это вытекает из теорем 7 и 6.
Теорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить . Теперь мы получим оценки для , исходя только из условий вида (6.4). Попутно выясняется, что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию условие (6.5) становится излишним. Суть дела в том, что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5).
Лемма 10. Пусть
(6.9)
где . Тогда для любого натурального k
(6.10)
Доказательство. Зафиксируем натуральное число n , определим натуральное p из условий

и построим последовательность номеров положив

Для оценки представим в таком виде:

Так как , то отсюда

(6.11)
Оценим U _l ^(k) . Имеем для l= 1,2,..., p

откуда

Но есть тригонометрический полином порядка не выше n _l . Поэтому по неравенству С.Н. Бернштейна,
(6.12)
Заметим теперь, что, в силу определения последовательности { n _l },
и для
Поэтому, пользуясь ещё монотонностью последовательности { F _n } ₂ находим, что для
(6.13)
При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:

и лемма доказана.
Теорема 8. Для любого натурального k и любого
(6.14)
Доказательство. Имеем

Отсюда, по лемме 10,

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем:

Если , то . Кроме того,

Поэтому для

и теорема доказана.
Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничениях на { E _n } условие (6.4) влечёт
Теорема 9. Зададим натуральное число k ; пусть и . Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия
(6.15)
Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для

Положим здесь и заметим, что тогда для и, в силу условия ,

Поэтому для

и теорема доказана.
Следствие 9.1. Пусть и . Тогда для всех натуральных классы эквивалентны.
Следствие 9.2. Пусть и . Если

то для любого фиксированного натурального

равномерно относительно n .
Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных f ^(r) ?
Теорема 10. Зададим натуральное число r, и пусть
(6.16)
где
(6.17)
Тогда f имеет непрерывную производную f ^(r) и
(6.18)
С.Н.Бернштейн [3] доказал такую теорему: если ряд сходится, то функция f имеет непрерывную производную f ^(r) . Рассмотрение этого доказательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f ^(r) и равномерно относительно x . В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение.
Доказательство. при . Поэтому равномерно относительно x . Отсюда следует, что если { n _k } ( k =0,1,2,...) есть возрастающая последовательность номеров, то

Зафиксируем натуральное число n и положим

Тогда будем иметь
(6.19)
где

Докажем, что формулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е.
(6.20)
Для этого достаточно установить, что ряд справа равномерно сходится. Прежде всего, оценим . Имеем

откуда

Оценим теперь . По неравенству С.Н.Бернштейна,

Пользуясь этой оценкой, получаем:

Но

Поэтому
(6.21)
Итак, доказана сходимость ряда , а вместе с этим установлена и формула (6.20). Из (6.20) и (6.21) вытекает, что

и теорема доказана.
В некоторых случаях оценка (6.18) может быть упрощена. Пусть, например,
(6.22)
Тогда

Поэтому при выполнении условия (6.22) вместо (6.18) можно написать

Следствие 10.1. Пусть r -натуральное число и сходится ряд

Тогда
(6.23)
Теорема 11. Пусть r -натуральное число и для функции f сходится ряд

Тогда для любого натурального k и любого
(6.24)
Доказательство. Имеем

Отсюда, по лемме 10,

Далее, согласно теореме 10,

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем

Заметим, что

Таким образом, если , то

и теорема доказана.
§7. Основная теорема.
Обратимся теперь к рассмотрению следующего вопроса: каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы

где -заданная невозрастающая функция?
Насколько нам известно, эта задача не была до сих пор решена даже для случая . Мы решим её для функций сравнения .
Лемма 11. Пусть и для некоторого натурального
(7.1)
Тогда существует такая константа с >0, что
(7.2)
Доказательство. Согласно (7.1), найдутся две такие константы С ₆₀ >0 и C ₆₁ >0, что
(7.3)
Последнее из этих неравенств, теорема 1 и теорема 3 влекут неравенство
(7.4)
В силу (2.1) и (2.2), имеем

Отсюда

Пользуясь (7.3) и (7.4), находим, далее
(7.5)
Вспомним теперь, что . Это даёт нам для

Подставляя эту оценку в (7.5), получаем
(7.6)
Мы можем без ограничения общности считать, что здесь . Положим в (7.6)

Тогда получим окончательно

и лемма доказана.
Основная теорема. Пусть . Для того чтобы
(7.7)
необходимо, чтобы для всех натуральных , и достаточно, чтобы для некоторого натурального
. (7.8)
Доказательство. Пусть имеет место (7.7), т.е. найдутся две положительные константы С ₆₇ и С ₆₈ , для которых
(7.9)
Тогда, по теореме 1 и в силу первой половины неравенства (7.9), для любого k имеем

т.е.

Отсюда, в силу ,

и если , то, ввиду монотонности и ,

Далее, из второй половины неравенства (7.9) и теоремы 9 вытекает существование константы С ₇₂ такой, что для любого

Этим заканчивается доказательство необходимости условия (7.8).
Пусть имеет место (7.8):
(7.10)
с С ₇₃ >0. Тогда по теореме 1 и в силу второй половины неравенства (6.10),

а по лемме 11,

где С ₇₇ >0.
Таким образом, установлена достаточность условия (7.8), и основная теорема полностью доказана.
Приведём в заключение обобщение леммы 11 на тот случай, когда оценки сверху и снизу имеют разные порядки.
Теорема 12. Пусть и
(7.11)
Тогда
(7.12)
Доказательство. Имеем, как при доказательстве леммы 11,

Положим здесь

Тогда получим, что

Теорема доказана.
 
§8. Решение задач.
Пример 1. Пусть Тогда при каждом

Пример 2. Пусть график функции f ( x ) имеет вид, изображённый на рис.8.1. Тогда график функции показан на рис.8.2.

Рис. 8.1. Рис. 8.2.
Пример 3. Пусть при

и пусть - периодическое продолжение функции на всю ось.

Рис. 8.3.
Рис. 8.4.
Тогда если функцию рассматривать на сегменте длины так, что (рис. 8.3)

то (рис. 8.4)

т.е. модуль непрерывности функции в точке не достигает своего наибольшего значения и, следовательно, отличается от модуля непрерывности этой функции на всей оси.
Пример 4. При функция

является модулем непрерывности.
Пример 5 . При функция

является модулем непрерывности.
Пример 6. При имеем так что при всех будет
.
Литература.

1. Бернштейн С.Н. О свойствах однородных функциональных классов // Доклады Ак. Наук СССР,-1947.-№57.-с.111-114.


2. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137.


3. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Сообщ. Харьк. Матем. о-ва (2), -1912.-№13.-с.49-144.


4. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Часть I,-М.-Л.,-1937.


5. Никольский С. Обобщение одного неравенства С.Н.Бернштейна // Доклады Ак. Наук СССР,-1948.-№65.-с.135-137.


6. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.-М.-Л.,-1934.


7. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. -М.: Наука.-1977.-с.512.


8. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137.


9. Тиман А.Ф. Теория приближения функций функций действительного переменного. -М.:ГИФМЛ,-1960.-с. 624.


10. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимаций.-М.:ГИТТЛ,-1947.-324.


11. Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Математические заметки,-т.22.-1977.-№2.-с.231-243.


12. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР-Математика,-1931.-№15.-с.219-242.