Раздел: Точные науки
РЕФЕРАТ

Использование численных методов
при решении обратных задач теплопроводности.
Введение. Постановка прямых и обратных задач теплообмена.
Задачи о теплообмене между окружающей средой и твердым телом или некоторой системой принято рассматривать с позиции соотношения причина—следствие. Цель прямых задач теплообмена представляет собой установление таких причинно - следственных связей.
Согласно принятой модели, к причинным характеристикам теплообменного процесса в теле или системе следует отнести начальные условия, теплофизические свойства, внутренние источники тепла и проводимости, граничные условия и их параметры, а также геометрические характеристики тела или системы, тогда то или иное тепловое состояние, определяемое температурным полем исследуемого объекта будет следствием .
Обратную задачу теплообмена будем иметь , при такой формулировке проблемы, при которой по определенной информации о температурном поле требуется восстановить причинные характеристики.
Так как в отличие от прямых задач, обратные не могут соответствовать реальным событиям: нельзя обратить ход теплообменного процесса и тем более изменить течение времени, постановки обратной задачи являются физически некорректными. При математической формализации физическая некорректность уже проявляется, чаще, например, в неустойчивости решения, как математическая. Таким образом, обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач в теории теплообмена.
В осстановление тепловых условий на границе тела называют граничной задачей теплообмена. К этому типу задач относят, и задачу, связанную с продолжением решения уравнения теплопроводности от некоторой границы, где одновременно заданы температура Т( х*, т) и плотность теплового потока q( х*, т).
Организация охлаждения конструкции камер сгорания.
Одним из важнейших вопросов проектирования является организация охлаждения конструкции камер сгорания. Эта задача усложняется ещё и тем, что тепловые процессы протекают при высоких температурах

К и давлениях.
Температура камеры, вследствие мощных суммарных конвективных и лучистых тепловых потоков в стенке камеры, может достигать значений превышающих (1000 - 1500

С. Размер этих потоков определяется значениями режимных параметров, составом продуктов сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое, а также температурой внутренней поверхности конструкции. Теплопровод от продуктов сгорания оказывается неравномерным, из-за изменения диаметра проточной части по длине Неравномерным является также, обусловленное изменением состава продуктов сгорания распределение температуры по периметру.
Коэффициент конвективной теплоотдачи от горячих продуктов сгорания к стенкам камеры и конвективные тепловые потоки

, доходящие в критическом сечении сопла до 23,26 - 69,78

резко возрастают вследствие того, что высокотемпературные продукты сгорания движутся по камере с очень большой скоростью. Кроме того, к большим лучистым тепловым потокам

/13/ приводит то, что теплообмен в конструкции характеризуется высоким уровнем радиации в камере.
С учетом совместного воздействия конвективного и лучистого теплового потоков в соответствующем сечении конструкции узла по значениям параметров (давление, состав и температура продуктов сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое) на установившемся режиме эксплуатации определяется коэффициент теплоотдачи от продуктов сгорания.
Задача определения теплового состояния в период работы, в условиях, когда время выхода рассматриваемых конструкций на установившийся тепловой режим соизмеримо и может оказаться даже большим времени их работы при эксплуатации, сводится к расчету прогрева их под воздействием высокотемпературных продуктов сгорания.

На рисунке 1 один приведена следующая схема корпуса камеры сгорания: на поверхности в сечении располагается по две точки замера, расположенных в диаметрально противоположных точках периметра корпуса. Сечение I - I корпуса сопла можно представить в виде однослойной, неограниченной пластины, а сечение II - II - в виде двухслойной, неограниченной пластины.
На рисунках 2, 3 представлены расчетные схемы элементов конструкции.

Обратная тепловая задача нарисованной на рисунке 3 пластины формулируется следующим образом: требуется по замерам температуры

и теплового потока

к пластине (рис.2) при X = 0 найти изменения температуры и теплового потока на поверхности X = 1.

Системы линейных алгебраических уравнений.
Функции

, систему Чебушева на любом сегменте и могут быть использованы для практической реализации описанного метода.
Тогда коэффициенты и свободные члены системы (20) можно представить в виде:

(21)

(22)
, где, так как квадратичная форма

неотрицательна для любых значений переменных

причем

только при

, матрица

является симметричной

и положительно определенной:

(23)
- система линейных алгебраических уравнений где

- невырожденная квадратная матрица m – го порядка, а

- вектор – столбцы, согласованные в размерностью матрицы А.
Существуют прямые и итерационные методы решения таких систем.
Прямые методы решения СЛАУ.
Методы, основанные на разложении матрицы А в произведении более простых матриц (диагональных, треугольных, ортогональных) называют прямыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений.
При использовании прямых методов исходная система уравнений (23) распадается на несколько более простых систем, которые решаются последовательно. Потому, как при исключении округлений, то через вполне определенное заранее известное конечное число шагов получится точное решение системы (23), прямые методы называют также точными.
Методы, в которых решение находится как предел при

последовательных приближений

, где

- номер итераций, называемые итерационными алгоритмами, являются альтернативой прямых методов.

Метод наименьших квадратов.

Функция

задана на

своими значениями в точках

(16)

совокупность линейно независимых на

функций.
Определим линейную комбинацию этих функций в виде:

(17)
(эта сумма является функцией коэффициентов

)
при условии, что сумма квадратов ее отклонений от заданных значений

функции в узлах

имела бы наименьшее значение, то есть величина

(18)
былы бы минимальной.
Используем для решения задачи приемы дифференциального исчисления.
Найдем частные производные функции

по всем переменным и приравняем их нулю:

где

Легко доказать, что если среди точек

нет совпадающих и

, то определитель системы (20) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственное решение (19). Подставив его в (17), найдем искомый обобщенный многочлен

, те есть многочлен, обладающий минимальным квадратичным отклонением

. Заметим, что при m = n коэффициенты (19) можно определить из условий

причем в этом случае Ф = 0. Следовательно, мы приходим здесь к рассмотренной ранее задаче интерполирования.

Таким образом, метод наименьших квадратов привёл к необходимости решать систему алгебраических уравнений

. (20)

Использование задачи Коши.
Для решения так поставленной обратной тепловой задачи используем решения известной из математического анализа задачи Коши.

Зададим в пространстве переменных

некоторую гладкую поверхность Г.
С каждой точкой

можно связать некоторое направление

, некасательное Г.

Решение уравнения

в окрестности поверхности Г, такое, чтобы оно удовлетворяло следующим условиям Коши:

где

- безразмерные время и координата.
В результате простых математических выкладок, получим искомое решение задачи (1), (2), записанное в виде:

(3)

Классическая теорема Коши - Ковалевской говорит о существовании решения (3), об аналитичности этого решения и его единственности в классе аналитических функций .
При заданных

решение (13) позволяет найти искомые изменения температуры

и теплового потока.

Получили типичную некорректную задачу, для построения устойчивого решения которой необходимо построение регуляризирующих алгоритмов.
В такой интерпретации решения (3), где функции

известны из эксперимента с некоторой заданной погрешностью, необходимо учитывать и тот факт, что вычисление операторов дифференцирования

неустойчиво к возмущениям в исходных данных.
В решении (3) сохраним конечное число слагаемых N.
Пусть

(4)

Интегрируя эту систему, получим систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода:

, (5)

где k =1, 2, ... , N.
Соотношения для теплового потока в (3) записывается аналогично.
Предположим, что на поверхности X = 0 теплосъем отсутствует, то есть стенка теплоизолирована., тогда решение (3) с учетом обозначений (4) имеет вид:

(6)

Граничные условия при X = 1 восстанавливаются соотношением (6), в котором функции

находятся из решения интегральных уравнений (5)

(7)

правая часть этого соотношения задается приближенно, то есть

- числовой параметр. Он характеризует погрешность правой части уравнения (7).
В общем случае задача (7) является некорректно поставленной.
Алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н.Тихонова является в настоящее время наиболее распространенным и эффективным регуляризующим алгоритмом для ее решения задачи (7). Этот алгоритм обладает устойчивостью к малым возмущениям правой части.
Объясним, как преобразуется правая часть уравнения (7) при решении.
Функция

характеризующая изменение температуры поверхности, задавалась таблицей. Начальные условия для

1, 2, … , N-1) находились из соотношения /3/:

(8)

где ,

- распределение температуры, заданное в начальный момент времени. Откуда для равномерного распределения температуры в начальный момент времени имеет

1, 2, … , N-1 (9)

(10)

По так называемому принципу невязки выбрали следующий параметр регуляризации

следующим образом: если

- какая - либо экстремаль функционала (10), реализующая его глобальный минимум при заданном

и фиксированном

, то числовой параметр определяется из условия

(11)

Возможность представления системы пластин теплового отношения (рис.1) в виде пластины из теплозащитного покрытия и оболочки, которую можно рассматривать как тепловую емкость, следует из анализа теплофизических и геометрических характеристик конструкции камеры сгорания.
Это предположение дает возможность воспользоваться решением задачи Коши (3) для построения решения обратной тепловой задачи для заданного узла.
В представленной на Рис.1 системе координат, поверхность при X = 0 будем считать теплоизолированной:

(12)

Если система пластин в начальный момент времени прогрета равномерно и, тогда начальные условия для функции

будут иметь вид (9).
При сделанных выше предположениях условия Коши (12) для этой задачи имеют вид

, (13)

Подставляя значение

из условия (2) в решение задачи Коши (3) получим

(14)
где

Таким образом, решение этой задачи имеет вид

(15)

где

нам задана, а функции

(n=1, 2, … , N) определяются из решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода (5) методом регуляризации
(7) - (9).
Искомые величины

определяются из решения (4) с использованием регуляризирующего алгоритма (7) - (9).

Погрешности решений обратных задач теплопроводности.

На рисунках 4, 5, 6 ,7 и 8 соответственно представлены зависимости температуры поверхности и экспериментальной температуры от времени, а также теплового потока и коэффициента теплоотдачи.
Измерения температуры, необходимые для обратной тепловой задачи, в реальных условиях являются случайными величинами из-за дефектов производства, технологии изготовления, загрязнения поверхности, погрешности измерения и обработки экспериментальной информации.
С помощью метода статистических испытаний Монте – Карло можно подсчитать влияние погрешностей исходной информации на решение обратной задачи теплопроводности.
Метод статистических испытаний Монте - Карло.
Анализ результата статистического моделирования решения обратной задачи позволяет установить коридор ошибок искомых граничных условий.
Метод статистических испытаний Монте –Карло, который заключается в статистическом моделировании аналитических решений ОЗТ с учетом случайного характера исходных данных, является одним из методов решения обратной тепловой задачи.
В данном методе этого необходим источник случайных чисел, потому что в методе Монте-Карло основным является случайная выборка исходных данных.
Для исходных данных введём обозначение

(24)
где

- математическое ожидание j – го параметра в точках.

- случайная ошибка, которую представим в виде :

(25)
где

- максимально возможная погрешность,

- функция возмущения, в общем случае различная во всех точках имеет вид

- случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием m = 0 и дисперсией Д = 1.

При возмущении по нормальному закону распределения плотностей вероятностей используем правило "трех сигм".
Метод Монте – Карло даёт возможность оценить влияние на решение ОЗТ погрешности исходной информации (геометрические размеры, место установки температурного датчика, теплофизические характеристики, измерения и обработки экспериментальной температуры внутренних точек тела). Кроме того, процедура Монте – Карло позволяет рассматривать влияние каждой входной величины на решение ОЗТ. Так называемый коридор ошибок восстановленного решения можно определить по результатам статистической обработки полученных реализации.

Заключение.
Найденные таким путем статистические характеристики решения ОЗТ можно использовать для того, чтобы направить инженерные усилия на уменьшение именно тех случайных вариаций, которые наиболее сильно сказываются на решении ОЗТ.
Погрешность в задании экспериментальной температуры до 5%,как показали приведённые расчеты для однослойной пластины, используемой выше, вызывает максимальные отклонения температуры поверхности до 10% на временном интервале 0 - 55 сек, а на остальном временном участке до 5%. 20% и 10% соответственно составляют максимальные отклонения теплового потока на тех же временных интервалах.
Аналогичные расчеты, проведённые уже для двухслойной пластины показали, что погрешность в задании экспериментальной температуры до 5% вызывает максимальные отклонения температуры до 10% на временном интервале 0 - 50 сек, а на остальном временном участке до 5%. Максимальные отклонения теплового потока на тех же временных интервалах составляют соответственно 20% и 10%.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Алифанов О.В. Обратные задачи теплообмена. – М: Машиностроение, 1988. – 280 с.

Алифанов О.В., Артюхин Е.А., Румянцев С.Я. Экспериментальные методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1988. – 288 с.

Веселовский В.Б., Лазученков Н.М, Швачич С.В. Обработка и интерпретация результатов нестационарных экспериментов при исследовании процессов тепло – и массообмена // Прикладные вопросы аэродинамики летательных аппаратов. Киев: Наук. думка, 1984. – С. 138 – 140.

Веселовский В.Б. Решение задач нестационарной теплопроводности для многослойных теплозащитных покрытий // Прикладные вопросы аэродинамики. – Киев: Наук. думка, 1987. – с. 95 – 100.

Веселовский В. Б. Нелинейные задачи теплопроводности для составных элементов конструкций // Прикладные задачи гидродинамики и тепломассообмена в энергетических установках. – Киев: Наук. думка, 1989. – С. 113 – 117.

Веселовский В.Б. Нестационарное температурное поле составных элементов конструкций // Математические методы тепломассопереноса. – Днепропетровск: ДГУ, 1986, с. 107 –110.

Веселовский В.Б. Решение прямых задач теплопроводности для многослойных пластин и построение алгоритмов восстановления граничных условий // Тезисы докладов 2 - ой Республиканского симпозиума по дифференциальным и интегральным уравнениям. – Одесса: Одесский ун – т, 1978. – с. 43 – 44.

Веселовский В.Б. Тепловы режимы составных элементов конструкции летательных аппаратов // Тепломассообмен – ММФ – Минск: ИТМО АНБ, 1996, - том IX (Вычислительный эксперимент в задачах тепломассообмена и теплопередачи).

Коваленко Н.Д., Шмукин А.А., Гужва М.И., Махин В.В. Нестационарные тепловые процессы в энергетических установках летательных аппаратов. – Киев: Наук. думка, 1988. – 224 с.