Колебания. Правила сложения колебаний.


 
 
Содержание.

Определение колебаний. *
Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма. *
Методом вращающегося вектора амплитуды. *
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. *
Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты. *
Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу. *

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Определение колебаний.
Колебаниями называются движения или процессы, которые полностью или почти полностью повторяются через равные промежутки времени. Колебания, описываемые уравнением
,
где x – смещение колеблющийся величины от положения равновесия; w - циклическая частота, определяющая число колебаний, совершаемые за время 2π секунд;t - время.
называют гармоническими.

Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма.
Методом вращающегося вектора амплитуды.
Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды.
Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически.
1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x .
2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый α.
3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью ω₀ , получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A , а координата этой проекции будет изменяться со временем по закону



Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой .

 
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y , изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ω по гармоническому закону:
(1)
Где e _x и e _у — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.
В случае колеблющейся частицы величины x и y можно представить в виде:
, (2)
Они определяют координаты частицы на плоскости xy.
Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой будет двигаться частица. Вид траектории зависит от разности фаз обоих колебаний.
Исключив из уравнений (2) параметр t, получим уравнение траектории в обычном виде. Из первого уравнения: (3). Соответственно (4)
По формуле для косинуса суммы:
, тогда


Преобразуем это уравнение



(5)
Получили уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α.
Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х ₁ и x ₂ одного направления и одинаковой частоты:
, (1)
Оба колебания представим с помощью векторов A ₁ и А ₂ . Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A ₁ и А ₂ .
Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:

Вектор A вращается с той же угловой скоростью ω₀ , как и векторы А ₁ и А ₂ , так что сумма x ₁ и х ₂ является гармоническим колебанием с частотой (ω ₀ , амплитудой A и начальной фазой α. Используя теорему косинусов получаем, что

 
(2)
(3)
Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления.

 
 
Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу.

1. Разность фаз α равна нулю.

При разности фаз, равной нулю, уравнение (5) упрощается следующим образом:

Отсюда :
- уравнение прямой.
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой, равной (рис. 1 а).


2. Разность фаз α равна ±π.

При разности фаз α равной ±π уравнение (5) имеет вид

- результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой
(рис. 1 б)


 
 
 
 
 
Рис.1

 

3. Разность фаз равна

.
Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности.
При разности фаз, равной .уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:


Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Если амплитуды А и В равны, эллипс превращается в окружность.

Равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
,
(знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).
При разных частотах взаимно перпендикулярных колебаний, траектории результирующего движения будут имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

 
 
 
 
 
 
Фигура Лиссажу для
отношения частот 1:2 и
разности фаз π/2

Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз π/2