Теория колец

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля.
Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если
. (1)
Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция ’ + ’ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0. Положив в равенстве (1) y = z = 0 , получим: x*0 = x*0 + x*0, откуда, при наличии свойства сокращения для операции ’ + ’ , получаем, что x*0 = 0 . Если для элемента y имеется противоположный элемент ( -y ), то взяв в том же равенстве z = -y , получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и, значит, x*(-y) = -x*y .
Определение.
Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом , если

1. ( R , +) - абелева группа ( аддитивная группа кольца R).


2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо . Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1 и 2 выполнено

3. 

0.
Элементы такого кольца R , имеющие обратные относительно операции умножения, называются обратимыми , а их множество обозначается через . Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку в кольце R с единицей x*0 = 0 e , элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y 0, для которого можно найти такое z 0, что y*z = 0 . Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.
Определение.
Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k , в котором всякий ненулевой элемент обратим : .
Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.
Примеры колец и полей.

1. Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R , Q , и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e . Этот “минимальный” запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0) . Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) ( по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все вычеты по модулю p , кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p) .


2. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна . Элементы, не входящие в необратимы, хотя и не являются делителями нуля.


3. Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество - квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу , то матрица Е = diag( , ,..., ) , будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det(A) R, причем det(AB)=det(A)det(B). Если det(A) обратимый элемент кольца R , то матрица A обратима в кольце матриц : , где - присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, = - группа матриц порядка n с обратимым определителем. В случае поля R это означает, что det(A) 0 , то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда А*В = 0 и значит А - делитель нуля.


4. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p= , где называется многочленом над кольцом R . Если

, то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg(p) . Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R[x] . Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R[x] . Если R не имеет делителей нуля, то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R , рассматриваемые как многочлены нулевой степени. Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R[x,y] =R[x][y] (=R[y][x]) .
Определение.
Подмножество называется подкольцом , если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R .
Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: . Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, то и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; = diag(1,1,...,1,0) =diag(1,1,...,1) .
Определение.
Гомоморфизмом колец называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: и . Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм.
Ядро гомоморфизма - это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп , то есть множество всех элементов из R , которые отображаются в .
Пусть снова - некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+) , можно образовать факторгруппу R/K , элементами которой являются смежные классы r+K . Поскольку К*К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: ( r+K)*(s+K) r*s+r*K+K*s+K.
Определение.
Подкольцо К называется идеалом кольца R , если : x*K K и K*y K .
Мы видим, что если К является идеалом в R , произведение смежных классов ( r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K . Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.
Примеры.

1. Подкольцо nZ является идеалом кольца Z , поскольку для любого целого m m(n Z ) n Z . Факторкольцо Z /n Z - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z /n Z имеет делители нуля.


2. Пусть I R [x] - множество всех многочленов , у которых =0. Удобно записать: I = x R [x] . Поскольку p*I =(p*x) R [x] I , мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент . Значит, ( q+I)*(s+I) = ( +I)*( +I) = * +I .


3. В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S . Если любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S , называемым главным идеалом с образующим элементом x . Этот идеал обозначается ( x) . Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то ( x)=S .


4. Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .


5. Пусть I идеал кольца R . Сопоставляя каждому элементу смежный класс r+I , получаем сюръективный гомоморфизм

. Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.
Замечание.
Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).
Теорема об ядре.
Ядро гомоморфизма колец является идеалом.
Доказательство.
Пусть - гомоморфизм колец, I =Ker , - любой элемент. Тогда, ( x*I) = (x)* (I) = (x)*0 =0 . Значит, x*I Ker =I . Аналогично проверяется, что I*x I .
Теорема о гомоморфизме для колец .
Пусть - сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/Ker . Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.
Пример.
Пусть K - кольцо многочленов R [x] , : K C - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : (p) =p(i) . Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде: ( +1)* q(x) , где q - любой многочлен. Можно записать: Ker = ( +1). По теореме о гомоморфизме .

Кольцо многочленов над полем.

Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z .

1. Делимость многочленов.

Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления “ углом ” использует только арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k . Он дает возможность для двух ненулевых многочленов p,s k[x] построить такие многочлены q ( неполное частное) и r ( остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0 , либо deg(r )< deg(s ) . Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p . Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.
Определение.
Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s) , что

1. ОНД( p, s) | p; ОНД( p, s) | s .


2. q | p, q | s

q | ОНД( p, s) .
По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.
Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.
Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.
Основная теорема теории делимости ( для многочленов).
Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД( p, q)= u*p+v*q .
Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z . Все же наметим основные его шаги.
Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p . Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r . Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0 , то deg(r )<deg(w) , что противоречит выбору w . Значит, r =0 . Аналогично проверяется, что w | q . Обозначим: W = ОНД( p , q) . По определению w | W . С другой стороны, W | p, W | q W | w . Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w .
Замечание.
Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов . Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Следствие.
Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.
В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p).

II. Разложение на множители.
Пусть k некоторое поле, p , q , s - многочлены над k . Если p=q*s , причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p , то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим . Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= * , где все многочлены неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые ; такие множители называются кратными . Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= .
Примеры.

1. . Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые.


2. Многочлен неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ( )=( x-a ) *q , то подставляя в это равенство x=a , получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a . Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где =

- кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.
Свойства неприводимых многочленов.
1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q.
В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | q p | q.
2. Если p | и p неприводим, то либо p | либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости ; , откуда: и значит, , то есть НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.
Пусть p = некоторый многочлен над k и . Элемент поля k, равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a). Соответствие является гомоморфизмом Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем . Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x -a + ) , а каждый идеал в k[x] - главный, то I =(x-a). Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p. Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней .
Если | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что и потому наличие у многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие у его производной того же корня кратности не ниже (n-1) . В частности, если p(a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный).
Если | p , но не делит p , то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку при a b НОД( , ) =1, многочлен p делится на и потому deg(p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.