Отображения в пространстве R(p 1 ,p 2 )
§1. Пространство R(p 1 ,p 2 ).
А 1 - аффинная прямая. Отнесем прямую А 1 к подвижному реперу r = {a,`e}, где а и`e соответственно точка и вектор.
Деривационные формулы репера r имеют вид:
d a= q `e , d`e= W`e (1),
причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :
D q = q ÙW , DW=WÙW=0.
Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d 2` e + 1/6d 3` e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e* =e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e* , близкого к `e , по отношению к `e.
Пусть R(p 1 ,p 2 ) – пространство всех пар (p 1 ,p 2 ) точек p 1 ,p 2 прямой А 1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р 1 р 2 , а конец вектора `е – в точку р 1 ; при этом р 2 совместится с концом вектора -`е.
Условия стационарности точек р 1 и р 2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.
Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р 1 ,р 2 ) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.
Очевидно, что dim R(p 1 ,p 2 ) =2. Заметим ,что в репере r форма 2 W является дифференциалом относительной длины отрезка р 1 *р 2 * , близкого к р 1 р 2 ,по отношению к р 1 р 2 .
§ 2. Отображение f.
А 2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={ p,`e j }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А 2 имеют соответственно вид : dp = W j e j ; d`e j = W j k ;
DW j = W k ^ W k j ; DW j = W j y ^ W y k .
Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А 2 в пространстве R(p 1 ,p 2 ):f:A 2® R(p 1 ,p 2 ).
Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)
Поместим начало Р репера R в точку f -1 (p 1 ,p 2 ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :
Q + W=l j W j ; Q-W=m j W j (2)
Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f -1 : R(p 1 ,p 2 )®A 2 обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f -1 имеют вид :
W j =l j (Q+W)+m j (Q-W) (3)
Из (2) и (3) получаем :
l kl j +m km j =d j k
l jl j =1
m jm j =1 (*)
l jm j =0
m jl j =0
Указанную пару { r;R } реперов пространств А 1 и А 2 будем называть репером нулевого порядка отображения f .
§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.
Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.
D(λ j W j -W-Q)=0 ,
получаем :
dλ j =λ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +λ jk W k
D(μ j W j +W-Q)=0
получаем :
dμ j =μ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +μ jk W k
Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:
Q+W=λ j W j
Q-W=μ j W j
dλ j =λ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +λ jk W k
dμ j =μ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +μ jk W j
Из этих уравнений вытекает, что система величин Г 1 ={λ j ,μ j } является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :
dλ k ^W j k +λ k dW j k +1\4(λjμ k -λ k μ j )^W k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )dW k +dλ jk ^W k +λ jk dW k =0 .
получим:
(dλ jt -λ kt W j k -λ jk W t k +1\4(λ k μ jt -μ k λ jk )W k +1\16λ t μ k (λ j -μ j )W k )^W t =0
dμ k ^W j k +μ k dW j k +1\4d(λ j μ k -λ k μ j )^W k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )dW k +dμ jk ^W k +μ jk dW k =0
получим:
(dμ jt -μ kt W j k -μ jt W t k +1\4(λ k μ jt -μ k λ jt )W k +1\16λ t μ k (λ j -μ j )W k )^W t =0
обозначим:
λ j =dλ j -λ t W j t
μ j =dμ j -μ t W j t
λ jk =dλ jk -λ tk W k t -λ jt W k t
μ jk =dμ tk W j t -μ jt W k t
Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:
Q+W=λ j W j
Q-W=μ j W j
dλ j =λ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +λ jk W k
dμ j =μ k W j k +1\4(λ j μ k -λ k μ j )W k +μ jk W k (4)
λ jk =(1\4(μ α λ jk -λ α μ jk )+1\16λ k μ α (μ j -λ j )+λ jkα )W α
μ jk =(1\4(μ α λ jk -λ α μ jk )+1\16λ k μ α (μ j -λ j )+μ jkα )W α
Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г 2 ={λ j ,μ j ,λ jk ,μ jk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г Р порядка р :
Г Р ={λ j ,μ j ,λ j1j2 ,μ j1j2 ,...,λ j1j2...jp ,μ j1j2...jp }.
§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.
Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ j },{μ j } образует подобъекты геометрического объекта Г 1 . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:
λ j X j =1 ; μ j X j =1 (6)
не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λ j ,μ j } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ j ,μ j } охватываются объектом Г 1 .
Из (*) получаем:
dλ j =-λ k W k j -1\4(λ j +μ j )μ t W t -λ kt λ k λ t W t -μ kt W t ^λ k μ j
dμ j =-μ k W k j -λ kt μ k λ j W t -μ kt μ k μ j W t +1\4λ t (λ j +μ j )W t
Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г 1 . Будем называть их основными векторами 1-го порядка.
Предположение 1.Конец вектора v 1 =λ j e j (вектора v 2 =μ j e j ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями:
λ j X j =0 , μ j X j = 0 (7).
Предположение 2. Основные векторы {λ j } и {μ j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:
λ j X j =1
V 2
V 1 μ j X j =1
Система величин ρ j =λ j -μ j образует ковектор: dρ j =ρ k W j k +(μ jk -λ jk )W k .
Определяемая им прямая ρ j X j =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) .
Пусть W -однородное подмногообразие в R(p 1 ,p 2 ) содержащее элементы (р 1 ,р 2 ) определяемое условием: (р 1 * ,р 2 * )∈W↔p 1 * p 2 * =p 1 p 2 .
Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W) многообразия W при отображении f .
Доказательство:
] (p 1 * ,p 2 * )∈W и p 1 * =p 1 +dp 1 +1\2d 2 p 1 +... ,
p 2 * =p 2 +dp 2 +1\2d 2 p 2 +... .
Тогда в репере Г: p 1 * p 2 * =e p 1 p 2 , где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р 1 * р 2 * по отношению к р 1 р 2 . Таким образом, (р 1 * р 1 * )∈W↔W=0 .
Из (2) получим: W=ρ 1 W j
Следовательно, (р 1 * р 2 * )∈W равносильно ρ j W j =0 (9)
Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.
При фиксации элемента (р 1 ,р 2 )∈R(p 1 p 2 ) определяется функция h : (p 1 * p 2 * )∈h(p 1 p 2 )→e∈R , так, что р 1 * р 2 * =е р 1 р 2
В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f -1 (W) является линией уровня функции h . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f -1 (W) .
]W 1 ,W 2 - одномерные многообразия в R(p 1 p 2 ) , содержащие элемент (р 1 р 2 ) и определяемые соответственно уравнениями:
(p 1 * ,p 2 * )єW 1 ↔p 2 * =p 2 .
(p 1 * ,p 2 * )єW 2 ↔p 1 * =p 1 .
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W 2 (многообразия W 1 ) при отображении f .
Дифференциальные уравнения линии f -1 (W 1 ) и f -1 (W 2 ) имеют соответственно вид:
λ j W j =0
μ j W j =0 .
Пусть W 0 - одномерное подмногообразие в R(p 1 p 2 ) , содержащее (р 1 р 2 ) и определяемое условием: (p 1 * p 2 * )єW 0 ↔Q*=Q ,где Q* – середина отрезка р 1 * р 2 * . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.
Предложение 3. Прямая (λ j +μ j )X -j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W 0 ) многообразия W 0 при отображении f . Дифференциальное уравнение линии f -1 (W 0 ) имеет вид: (λ j +μ j )W j =0 .
Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f -1 (W 1 ), f -1 (W 2 ) , f -1 (W), f -1 (W 0 ) составляют гармоническую четверку.
Доказательство вытекает из (7),(8),(10).
§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.
Рассмотрим отображения:
П 1 : (р 1 ,р 2 )∊R(p 1 ,p 2 )→p 1 ∊A 1 (5.1)
П 2 : (р 1 ,р 2 )∊R(p 1 ,p 2 )→p 2 ∊A 1 (5.2)
Отображение f: A 2 →R(p 1 ,p 2 ) порождает точечные отображения:
φ 1 =П 1 ∘f: A 2 →A 1 (5.3)
φ 2 =П 2 ∘f: A 2 →A 1 (5.4)
В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ 1 и φ 2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г 1,2 ={λ j ,λ jk } и Г 2,2 ={μ j ,μ jk } объекта Г 2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ 1 и φ 2 .
В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:
x=1+λ j X j +1/2λ jk X j X k +1/4λ y ρ k X j X k +<3>, (5.5)
y=-1+μ j X j +1/2μ jk X j X k +1/4μ y ρ k X j X k +<3>, (5.6)
Введем системы величин:
Λ jk =λ jk +1/4(λ j ρ k +λ k ρ j ),
Μ jk =μ jk +1/4(μ j ρ k +μ k ρ j )
Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:
x=1+λ j X j +1/2Λ jk X j X k +<3> (5.7)
y=-1+μ j X j +1/2Μ jk X j X k +<3> (5.8)
В <4> доказано, что существует репер плоскости А 2 , в котором выполняется:
λ 1 λ 2 1 0
=
μ 1 μ 2 0 1
Этот репер является каноническим.
Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.
Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:
x=1+X 1 +1/2Λ jk X j X k +<3> (5.9),
y=-1+X 2 +1/2Μ jk X j X k +<3> (5.10).
§6. Инвариантная псевдориманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
G jk =1/2(λ j μ k +λ k μ j )
Из (3.1) получим:
dG jk =1/2(dλ j μ k +λ j μ k +dλ k μ j +λ k dμ j )=1/2(μ k λ t W j t +1/4λ j μ k μ t W t -1\4μ k μ t λ t W t +μ k λ jt W t +λ j μ t W k t +
+1/4λ j λ k μ t W t -1/4μ j λ k μ t W t -1/4μ j λ t μ k W t +μ j λ kt W t +λ k μ t W j t +1/4λ k λ j μ t W t -1/4λ k λ t μ j W t +
+λ k μ jt W t ),
dG jk =1/2(μ k λ t +λ k μ t )W j t +1/2(λ j μ t +λ t μ j )W k t +G jkt W t ,
где G jkt =1/2(μ k λ jt +λ y μ kt +μ j λ kt +λ k μ jt -1/2μ j μ k λ t +1/2λ j λ k μ t -1/4λ j μ k λ t +1/4λ j μ k μ t +1/4μ j λ k μ t -
-1/4μ j λ k λ t ) (6.3).
Таким образом, система величин {G jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А 2 инвариантную метрику G :
dS 2 =G jk W j W k (6.4)
Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS 2 =θ 2 -W 2 (6.5) в R(p 1 ,p 2 ).
Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.
Асимптотические направления определяются уравнением G jk W j W k =0 или
λ j W j μ k W k =0 (6.6)
Предложение : Основные векторы V 1 и V 2 определяют асимптотические направления метрики G.
Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U ’ ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU ’ )
Теорема : Метрика dS 2 =θ 2 -W 2 совпадает с метрикой Розенфельда .
Доказательство: В репере r имеем для координат точек p 1 ,p 2 ,p 1 +dp 1 ,p 2 +dp 2
Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W .
Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем
dS 2 =θ 2 -W 2
Следствие : Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.
В работе <3> был построен охват объекта
Г l jk =1/2G tl (G tkj +G jtk -G jkt )
псевдоримановой связности
G
фундаментальным объектом
Г
2
={λ
j
,μ
j
,λ
jk
,μ
jk
}.
Он определяется формулой: Г l jk =λ j Λ jk +μ l Μ jk -λ l λ t λ k +μ l μ t μ k .
§7. Инвариантная риманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
g jk =λ j λ k +μ j μ k (7.1)
Из (3.1) получаем:
dg jk =dλ j λ k +dλ k λ j +dμ j μ k +dμ k μ j =λ k λ t W j t +1/4λ k λ j μ t W t -1/4λ j λ t μ j W t +λ k λ jt W t +λ j λ t W k t +
+1/4λ j λ k μ t W t -1/4λ j λ t μ k W t +λ j λ kt W t +μ k μ t W j t +1/4μ k λ j μ t W t -1/4μ k λ t μ j W t +μ k μ jt W t +
+μ j μ t W k t +1/4μ j λ k μ t W t -1/4μ j λ t μ k W t +μ j μ kt W t .
dg jk =(λ k λ t +μ k μ t )W j t +(λ j λ t +μ j μ t )W k t +g jkt W t , (7.2)
где g jkt =1/2λ j λ k μ t -1/2μ j μ k λ t -1/4λ k λ t μ j -1/4λ j λ t μ k +1/4λ j μ k μ t +1/4μ j λ k μ t +λ k λ jt +λ j λ kt +
+μ k μ jt +μ j μ kt (7.3)
Таким образом, система величин {g jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А 2 инвариантную метрику g :
dS 2 =g jk W j W k (6 ’ .4)
Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6 ’ .4) соответствует при отображении f метрике:
dS 2 =2(θ 2 +W 2 ) (6 ’ .5)
в R(p 1 ,p 2 )
Из (6 ’ .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.
Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:
GjkXjXk=1 (6 ’ .6)
или (λ j X j ) 2 +(μ j X j ) 2 =1 (6 ’ .7)
Из (6 ’ .7) вытекает:
Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.
Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g .
V 1
V 2 рис.3.
Пусть g jk =λ j λ k +μ j μ k (6.8)
В силу (2.7) имеем:
g jt g tk =(λ j λ t +μ j μ t )(λ t λ k +μ t μ k )=λ j λ k +μ j μ k =δ k j (6 ’ .9)
Таким образом, тензор g jk является тензором взаимных к g jk . Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.
Предложение 7.2: Поле основного вектора {λ j } (вектора {μ j } ) соответствует в метрике g полю основного ковектора {λ j } (ковектора {μ j } ).
Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g .
Доказательство:
λ j λ k g jk =λ j λ k λ j λ k +λ j λ k μ j μ k =1 ,
μ j μ k g jk =μ j μ k λ j λ k +μ j μ k μ j μ k =1 ,
λ j μ k g jk =λ j μ k λ j λ k +λ j μ k μ j μ k =0 .
Таким образом, f задает на А 2 структуру риманова пространства (A 2 ,g f ).
В работе <2> был построен охват объекта
γ jk l =1/2g tl (g tkj +g jtk -g jkt )
римановой связности γ фундаментальным объектом
Г 2 ={λ j ,μ j ,Λ jk ,Μ jk }
Он определяется формулой:
γ jk l =λ l Λ jk +μ l M jk +G jk (λ l -μ l )+1/2(λ l +μ l )(μ j μ k -λ j λ k ) ,
где G jk =1/2(λ j μ k +λ k μ j ).
