Конспекты лекций по математической логике

1. Теория алгоритмов

1.1 Различные подходы к определению алгоритма:
1 ⁰ . Неформальное понятие алгоритма (последовательность инструкций для выполнения действия).
2 ⁰ . Машина с неограниченными регистрами (МНР).
3 ⁰ Машина Тьюринга – Поста (МТ-П).
4 ⁰ Нормальные алгоритмы Маркова (НАМ).
1.1.1 Машина с неограниченными регистрами (МНР).
Имеется некое устройство, в котором счетное число ячеек памяти (регистров), в которых хранятся целые числа.
Допустимые команды:
Z(n) - обнуление регистра R _n .
S(n) - увеличение числа в регистре R _n на 1.
T(m,n) - копирует содержимое R _m в регистор R _n .
I(p,q,n) - если содержимое R _p = R _q то выполняется команда с номером n , если нет
следующая.
Программа для МНР должна быть последовательностью команд Z, S, T, I с определенным порядком, выполняемые последовательно.

Тезис Черча (Churcha) : Первое и второе определение алгоритма эквивалентны между собой. Любой неформальный алгоритм может быть представлен в программе для МНР.
1.1.2 Машина Тьюринга - Поста.
Имеется устройство просматривающее бесконечную ленту, где есть ячейки содержащие элементы алфавита: , где - пустой символ (пустое слово), который может принадлежать и не принадлежать А . Также существует управляющая головка (устройство) (УУ)/(УГ), которая в начальный момент расположена в определенном месте, в состоянии . Также существуют внутренние состояния машины:
Слово в данном алфавите - любая конечная упорядоченная последовательность букв данного алфавита, притом длина слова это количество букв в нем (у пустого слова длина 0).
Допустимые команды:

1) ,где . 2) (остановка программы).

Последовательность команд называется программой , если в этой последовательности не встречается команд с одинаковыми левыми частями. Машина останавливается если она не находит команды с левой частью подобной текущей.

1.1.3 Нормальные алгоритмы Маркова.
Тип машины перерабатывающий слова, в которой существует некий алфавит , для которого W - множество всех слов.
Допустимые команды: (Для машин этого типа важна последовательность команд.)

где	Пример: Программа:

1.1.4 Реализация функции натурального переменного.
но мы допускаем не всюду определенную функцию.
то это означает, что
притом , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.

притом , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
( , а числа представляются в виде ,например .)
1.2 Эквивалентность трех подходов к понятию алгоритм.
1.2.1 Теорема об эквивалентности понятия вычислимой функции.
вычислима: ()

1. Если существует программа МНР, которая вычисляет эту функцию.
2. Если существует программа МТ-П, которая вычисляет эту функцию.
3. Если существует программа НАМ, которая вычисляет эту функцию.

Использование НАМ:

Теор .: Классы функций вычислимых на МТ-П, с помощью НАМ и с помощью МНР совпадают.
Пусть которая вычисляется на МТ-П, вычислим её на НАМ.
МТ-П:
НАМ:
Команда МТП: преобразуется по правилам:

Команда МТП:
2. Булевы функции.
2.1 Основные определения
2.1.1 Декартово произведение
- мн-во всевозможных упорядоченных пар элементов из А и В.
Пример :


2.1.2 Декартова степень произвольного множества.
Опр : - множество всевозможных упорядоченных наборов длины n , элементов множества А.
2.1.3 Определение булевой функции от n переменных.
Любое отображение - называется булевой функцией от n переменных, притом множество

2.1.4 Примеры булевой функции.

1. логическая сумма (дизъюнкция).
2. логическое умножение (конъюнкция).
3. сложение по модулю два.
4. логическое следствие (импликация).
5. 

отрицание.
2.1.5 Основные булевы тождества.

1. (ассоциативность)
2. (коммутативность)
3. (свойство нуля)
4. (закон поглощения для 1)
5. (ассоциативность)
6. (коммутативность)
7. (свойство нуля по умножению)
8. (свойство нейтральности 1 по умножению)
9. (дистрибутивность)
10. (дистрибутивность 2)
11. (закон поглощения)
12. ( Законы
13. де Моргана)
14. (закон снятия двойного отрицания)
15. (tertium non datur – третьего не дано)
16. (ассоциативность)
17. 
18. 
19. 
20. 
21. (Свойства
22. 

идемпотентности)
2.2 Дизъюнктивные нормальные формы.
2.2.1 Основные определения.
- конечный алфавит из переменных.
Рассмотрим слово:
Экспоненциальные обозначения:
- элемент конъюнкции.
S – длина элемента конъюнкции.
ДНФ – дизъюнкция нескольких различных элементарных конъюнкций.

Любая булева функция может быть представлена как ДНФ
2.2.2 Теорема о совершенной ДНФ.
Любая булева функция тождественно не равная 0 может быть разложена в ДНФ следующего вида:

Опр : Носитель булевой функции
.
Лемма :

1. это элементарно
2. возьмем набор

а)
б)
Доказательство: , будем доказывать, что.

1. Докажем, что . Возьмем он попадает в число суммируемых наборов и по нему будет проводиться сумирование.


2. Докажем, что . Возьмем другой набор из

Следовательно
2.2.3 Некоторые другие виды ДНФ.
Опр: - называется минимальной ДНФ , если она имеет - наименьшую возможную длину из всех ДНФ данной функции.
Опр: - называется тупиковой ДНФ , если из неё нельзя выбросить ни одного слагаемого с сохранением булевой функции.
(Легко понять, что любая минимальная ДНФ является тупиковой, а обратное не верно.)
Опр: К-мерной гранью называется такое подмножество , которая является носителем некоторой элементарной конъюнкции длины: n-k.
Опр: Предположим дана функция и есть . Грань называется отмеченной , если она целиком содержится в носителе Т .
Опр: Максимальная грань – это такая грань, которая не содержится ни в какой грани более высокой размерности.
Предложение: Любую отмеченную грань можно вложить в максимальную грань.
Предложение:
(Носитель любой функции можно разложить в объединение нескольких граней разной размерностей)
Предложение: Носитель любой функции разлагается в объединение всех своих максимальных граней.
Опр: Элементарная конъюнкция называется минимальной , если её носитель является максимальной гранью. Следовательно всякая булева функция разлагается в дизъюнкцию всех своих элементарных конъюнкций.
Опр: Сокращенная ДНФ – разложение данной булевой функции в соответствующие ДНФ, которые соответствуют объединению её максимальных граней.
Теор: Минимальная ДНФ может быть получена из сокращенной отбрасыванием некоторого количества слагаемых, возможно пустого.
3 Логические Исчисления.
3.1 Исчисления высказывания (ИВ).
3.1.1 Определения.



Опр: V – словом в алфавите А , называется любая конечная упорядоченная последовательность его букв.
Опр: Формативная последовательность слов – конечная последовательность слов и высказываний , если они имеют формат вида:

Опр: F – формулой ИВ , называется любое слово, входящее в какую-нибудь формативную последовательность.
Пример:

Опр: Аксиомы – специально выделенное подмножество формул.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 

Reg – правила вывода ИВ (некоторые правила преобразования первого слова в другое).
a – символ переменной
- произвольное слово ИВ (формула)
Отображение действует так, что на место каждого вхождения символа а , пишется слово .
Пример:
Правило modus ponens :
3.1.2 Формальный вывод.(простейшая модель доказательства теоремы)
Опр: Последовательность формул ИВ, называется формальным выводом, если каждая формула этой последовательности имеет следующий вид:

Опр: Выводимый формулой (теоремой) ИВ называется любая формула входящая в какой-нибудь формальный вывод. - выводимая формула ИВ.
Пример:

1)
2)
3)
4)
5)
6)

Правило одновременной подстановки.
Замечание : Если формула выводима, то выводима и
Возьмем формативную последовательность вывода и добавим в неё , получившаяся последовательность является формальным выводом.
(Если выводима то если , то выводима )
Теор: Если выводимая формула , то ( - различные символы переменных) выводима
Выберем - символы переменных которые различны между собой и не входят не в одну из формул , сделаем подстановку и последовательно применим и в новом слове делаем последовательную подстановку: , где - является формальным выводом.
3.1.3 Формальный вывод из гипотез.
Опр: Формальным выводом из гипотез (формулы), называется такая последовательность слов , каждая из которых удовлетворяет условию:

если формулу можно включить в некоторый формальный вывод из гипотез .
Лемма: ; : то тогда
Напишем список:

Лемма :
Док:
3.1.4 Теорема Дедукции.
Если из

1. и 2а) , где по правилу m.p.

, ч.т.д.
2б) - уже выводили , ч.т.д.
Базис индукции: N=1 - формальный вывод из длинного списка
(только что доказано), осуществим переход по индукции:

по индукции
и по лемме 2

Пример:
по теореме дедукции
3.2 Критерий выводимости в ИВ.
3.2.1 Формулировка теоремы.
- тавтология
при любой интерпретации алфавита (символов переменных)

3.2.2 Понятие интерпретации.

символ переменной переменную поставим в соответствие.
, где - проекция на .

; - только символ
переменных, т.к.
это заглавное слово
формативной последо-
вательности вида:
Где:
3.2.3 Доказательство теоремы.

формальный
вывод

1. 

3.3 Непротиворечивость ИВ.
3.3.1 Определение.

1. ИВ противоречиво , если формула А выводима в нем. .


2. формула выводима в ИВ)ИВ противоречиво .


3. 

ИВ противоречиво .
ИВ непротиворечиво , если оно не является противоречивым.

Теорема : ИВ является непротиворечивым исчислением по отношению к любому из трех определений.
Док-во : (1) Если , то соответствующая ей булева функция будет тождественно равна 1.

(2) Если любая формула выводима, то выводима и А , что соответствует пункту 1.
(3) Пусть и - булева функция
- противоречие.
3.4 Формальные исчисления.
Алфавит – конечное или счетное множество символов, возможно, разбитых на группы. Алфавит должен быть упорядоченным множеством.
Слово – конечная упорядоченная последовательность символов алфавита, в т.ч. пустое слово.
V – множество всех слов.

Вычислимая функция от нескольких натуральных переменных
( f – может быть не всюду определенной )
f – называется вычислимой , если такая машина Тьюринга, которая её вычисляет.

- разрешимое множество, если характеристическая функция
- является вычислимой.
Множество называется перечислимым, если такая вычислимая функция

М - разрешимо М и N \ M перечислимы.
М – перечислимо М – область определения некоторой вычислимой функции.
Множество всех формул F – некоторое разрешимое подмножество V .
Т – счетное множество, если его биективное отображение на V .
- обозначение счетного множества. ( - алеф-нуль)

Если и зафиксировано биективное и вычислимое отображение (вычис.),
то L – ансамбль .
V – ансамбль (слова лексикографически упорядочены и занумерованы)

Определение : В произвольном формальном исчислении: - множество всех аксиом – разрешимое подмножество множества всех формул.

Правило вывода:
,при разрешимо. Для ИВ N =2.
Пример :
(пустое слово) ,

1 и 2 – формальные выводы.
3 – не является формальным выводом.

4 Предикаты и кванторы.
4.1 Определение предиката.

- высказывание, содержащее переменную.
- предметная область предиката.


Пусть А – множество объектов произвольной природы ( предметная область предиката ).

-местный предикат – произвольное отображение

Множество истинности данного предиката
-
- характеристическая
функция от x на множестве
А - совпадает
с предикатами




4.2 Понятие квантора.
k – связанная переменная
n – свободная переменная
t – свободная, x – связанная.
, a,b,y – свободные переменные, x – связанная.





4.3 Геометрическая интерпретация навешивания кванторов.

- ортогональная проекция на ось x

Пронесение отрицания через кванторы

Геометрическое 'доказательство':
не обладает свойством, что прямая целиком лежит в


ч.т.д.