Раздел: Точные науки
РЕФЕРАТ

Теория устойчивости

Введение
Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.
Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
(1)

с начальными условиями x ( t ₀ ) = x ₀ (2)

где x = ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) - n - мерный вектор; t О I = [t ₀ , + Ґ [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f ₁ ( t , x ) , f ₂ ( t , x ) , ... , f _n ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.
Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t ₀ ) = x ₀ . С целью упрощения все рисунки п. 1 ⁰ ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве R ⁿ⁺¹ (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t ₀ , x ₀ ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные

данные ( t ₀ , x ₀ ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим

образом: x ( t ) =

x ( t ; t ₀ , x ₀ ). Изменение этого решения в данной

математической модели с изменением начальных данных ( t ₀ , x ₀ )

приводят к существенному изменению решения x ( t ; t ₀ , x ₀ ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку

начальные данные ( t ₀ , x ₀ ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) =

x ( t ; t ₀ , x ₀ ) , вызванное отклонением D x ₀ начального значения x ₀ , будем записывать следующим образом:

| x ( t ; t ₀ , x ₀ + D x ₀ ) - x ( t ) | = | x ( t ; t ₀ , x ₀ + D x ₀ ) - x ( t ; t ₀ , x ₀ ) |.

Определение 1. Решение x ( t ) =

x ( t ; t ₀ , x ₀ ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x ₀ на интервале I = = [ t ₀ , + Ґ [ , т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x ₀

| D x ₀ | Ј d Ю | x ( t ; t ₀ , x ₀ + D x ₀ ) - x ( t ) | Ј e " t і t ₀ .
Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + Ґ для достаточно малых D x ₀ , т.е. $ D > 0 " D x ₀ .

| D x ₀ | Ј D Ю | x ( t ; t ₀ , x ₀ + D x ₀ ) - x ( t ) | ® 0 , t ® + Ґ . (3)

то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).
Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t ₀ , x ₀ + D x ₀ ) , близкие в начальный момент t ₀ к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t і t ₀ .

2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x ₁ ( t ) , начинающееся в момент t ₀ в D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x ₂ ( t ), начинающееся при t = t ₀ за пределами области притяжения, но в пределах d - трубки, не покидает e - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t ₀ , x ₀ ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.
Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t ₀ к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t ₁ ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки (рис.3).
Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.
Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.

x
0 t
Рис.3 Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему

y’ = F ( t, y ). (4)

где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) є 0 " t і t ₀ .

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) є 0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 " t і t ₀ , и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1).

Определение 3. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если " e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что " x ₀
| D x ₀ | Ј d Ю | x ( t ; t ₀ , x ₀ ) | Ј e " t і t ₀ .
Если кроме того,

D > 0 " x ₀ | D x ₀ | Ј D Ю | x ( t ; t ₀ , x ₀ ) | ® 0 , t ® + Ґ ,

то решение x ( t ) є 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .

Определение 4. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

$ e > 0 $ t ₁ > t ₀" d > 0 x ₀№ 0 | x ₀ | Ј d Ю | x ( t ; t ₀ , x ₀ ) | > e .
Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.

2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.
Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :

dx / dt = f ( x ). (5)
Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая g , которую можно параметрически задать в виде x _i = x _i ( t ) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство R ⁿ с координатами ( x ₁ , ... , x _n ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x ₁ = x ₁ ( t ), ... , x _n = x _n ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству R ⁿ⁺¹ с координатами ( t , x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство R ⁿ параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда R ⁿ⁺¹ - трехмерное пространство, а фазовое пространство R ⁿ - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x ₁ = x ₁ ( t ) , x ₂ = x ₂ ( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x ₁ = x ₁ ( t ) , x ₂ = x ₂ ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

Определение 5. Точка ( a ₁ , a ₂ , ... , a _n ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f ₁ , f ₂ , ... , f _n системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где a = ( a ₁ , a ₂ , ... , a _n ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .

Если ( a ₁ , ... , a _n ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) є 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства R ⁿ . В пространстве R ⁿ⁺¹ точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.
Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R ² , причем проекциями e - трубки и d - трубки являются окружности с радиусами e и d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d - окружности, не покидают e - окружность " t і t ₀ (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой e - окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид
dx / dt = A x, (6)
где A - постоянная матрица размера n ґ n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

3. Простейшие типы точек покоя.
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
ж dx / dt = P ( x , y ),
н (A)
о dy / dt = Q ( x , y ).
Точка ( x ₀ , y ₀ ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x ₀ , y ₀ ) = 0 , Q ( x ₀ , y ₀ ) = 0.
Рассмотрим систему
ж dx / dt = a ₁₁ x + a ₁₂ y,
н (7)
о dy / dt = a ₂₁ x + a ₂₂ y.
где a _ij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде
x = a₁ e ^{k t} , y = a₂ e ^{k t} . (8)
Для определения k получаем характеристическое уравнение
a ₁₁ - k a ₁₂
= 0. (9)
a ₂₁ a ₂₂ - k
Рассмотрим возможные случаи.
I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :
1) k ₁ < 0, k ₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k ₁ > 0, k ₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k ₁ > 0, k ₂ < 0. Точка покоя неустойчива (седло).
4) k ₁ = 0, k ₂ > 0. Точка покоя неустойчива.
5) k ₁ = 0, k ₂ < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.
II. Корни характеристического уравнения комплексные : k ₁ = p + q i, k ₂ = p - q i. Подслучаи :
1) p < 0 , q № 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).
2) p > 0 , q № 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).
3) p = 0, q № 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.
III. Корни кратные : k ₁ = k ₂ . Подслучаи :
1) k ₁ = k ₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k ₁ = k ₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k ₁ = k ₂ = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.
Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
dx _i _n

= е a _{i j} x _j ( i = 1 , 2 , ... , n ) (10)
dt ⁱ⁼¹
характеристическим уравнением будет
a ₁₁ - k a ₁₂ a ₁₃ ... a _1n
a ₂₁ a ₂₂ - k a ₂₃ ... a _2n = 0. (11)
. . . . . . . .
a _n1 a _n2 a _n3 ... a _nn - k
1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x _i ( t ) є 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.
2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k _i = p _i > 0, то точка покоя x _i ( t ) є 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.
3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x _i ( t ) є 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.
Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами
.
ж x = a ₁₁ x + a ₁₂ y,
н . (12)
о y = a ₂₁ x + a ₂₂ y
характеристическое уравнение (9) приводится к виду
k ² + a ₁ k + a ₂ = 0.
1) Если a ₁ > 0 , a ₂ > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.
2) Если а ₁ > 0 , a ₂ = 0, или a ₁ = 0 , a ₂ > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a ₁ = a ₂ = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
4. Критерий устойчивости Михайлова.
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D ( l ) = lⁿ + a ₁l^n-1 + a ₂l^n-2 + ... + a _n = 0. (13)
Зная его корни l₁ , l₂ , ... , l_n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде
D ( l ) = ( l - l₁ ) ( l - l₂ ) ... ( l - l_n ). (14)
Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :
а - для двух корней l и l_i ;
б - для четырех корней l₁ , l ‘ ₁ , l₂ , l ‘ ₂

Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( l - l_i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что l = j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от - Ґ до + Ґ векторы j w - l₁ и j w - l ‘ ₁ комплексных корней l и l ‘ ₁ повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w - l₂ и j w - l ‘ ₂ повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p . Таким образом, приращение аргумента arg( j w - l_i ) для корня характеристического уравнения l_i , находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p . Приращение результирующего аргумента D arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит
D arg D( j w ) = ( n - m ) p - m p = ( n - 2m ) p . (15)

^{- Ґ < w < Ґ для левой для правой

полуплоскости полуплоскости}
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D ( j w ) = ( j w ) ⁿ + a ₁ ( j w ) ^n-1 + a ₂ ( j w ) ^n-2 + ... + a _n (16)
содержит лишь четные степени w , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому
arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ), (17)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до Ґ . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена
D arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2 . (18) ^{0 Ј
w < Ґ}
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента
D arg D( j w ) = n p / 2 . (19) ^{0 Ј
w < Ґ}
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).
Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:
а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах
Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.