ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а ₁ , а ₂ , а ₃ ,…,а _л (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a ₁ а ₁ +a ₂ а ₂ +…+a _л а _л =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a ₁ , a ₂ ,…, a _л =0 и ÎR
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a _i¹ 0 (i=1,…,k)
Свойства

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима


2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.


3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.


4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a ¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g ¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:

1. (а,b)= (b,а)


2. (aа,b)= a (а,b)


3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)


4. (а,а)=|a| ² – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ +z ₁ z ₂ /sqrt(x ₁ ² +y ₁ ² +z ₁ ² )*sqrt(x ₂ ² +y ₂ ² +z ₂ ² )

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:

1. [a,b]= - [b,a]


2. [aа,b]= a [а,b]


3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]


4. [a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e _a =a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М ₀ в ур-е (1) и получим Ах ₀ +By ₀ +C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х ₀ )+B(y-y ₀ )=0, n(A,B), М ₀ М(х-х ₀ , y-y ₀ ). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M ₀ M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А ₁ х+B ₁ y+C ₁ =0 и А ₂ х+B ₂ y+C ₂ =0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А ₁ =t*А ₂ и т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

2. x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

3. x-x ₁ /e=y-y ₁ /m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M ₁ М(х-х ₁ ; y-y ₁ )

4. x-x ₁ /x ₂ -x ₁ =y-y ₁ /y ₂ -y ₁

Пусть на прямой даны две точки М ₁ (x ₁ ;y ₁ ) и М ₂ (x ₂ ;y ₂ ). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x ₂ -x ₁ ; y ₂ -y ₁ )

5. y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x ₁ /e/e=y-y ₁ /m/e. y-y ₁ =k(x-x ₁ ) при y ₁ -kx ₁ =b, y=kx+b

6. xcosq+ysinq-P=0

q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos ^2q =(A*t) ²
Sin ^2q =(B*t) ²
-p=C*t
cos ^2q +sin ^2q =t ² (A ² +B ² ), t ² =1/A ² +B ² , t=±sqrt(1/ A ² +B ² ). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x ₁ и y=mt+y ₁

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.
1. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos ^2q =(A*t) ²
Sin ^2q =(B*t) ²
-p=C*t
cos ^2q +sin ^2q =t ² (A ² +B ² ), t ² =1/A ² +B ² , t=±sqrt(1/ A ² +B ² ). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М ₁ (x ₁ ;y ₁ ), тогда отклонение точки М ₁ = x ₁ cosq+y ₁ sinq-P=0
Задача: найти расстояние от точки М ₀ (x ₀ ;y ₀ ) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x ₀ cosq+y ₀ sinq-P|. d=|Ах ₀ +By ₀ +C|/sqrt(A ² +B ² )

ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F ₁ F ₂ |=2c, М – произвольная точка гиперболы. r ₁ , r2 – расстояния от М до фокусов;
|r ₂ -r ₁ |=2a; a<c;
,




x ² c ² -2a ² xc+a ² =a ² (x ² -2xc+c ² +y ² )
x ² (c ² -a ² )-a ² y ² =a ² (c ² -a ² )
c ² -a ² =b ²
x ² b ² -a ² y ² =a ² b ²
- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.
Каноническое уравнение:
Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.
|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;
r=sqrt((x-p/2) ² +y ² ); d=p/2+x
Приравниваем и получаем:
y ² =2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.
е=с/а
е эллипсв <1 (т.к. а>c)
е гиперболы >1 (т.к. с>a)
Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.
Выразим эксцентриситеты через а и b:


е эллипса является мерой его “вытянутости”
е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами
2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)
D ₁ : x= - a/e
D ₂ : x= a/e

р=а(1-е ² )/е – для эллипса
р=а(е ² -1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).
Доказательство: для эллипса.
r ₁ /d ₁ =e
x£|a|, xe+a>0
r ₁ =xe+a

d ₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D ₁
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
б _м =-x-a/e
d ₁ =-б _м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)


Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.
r= r
d=p+rcosj
e=r/p+rcosj
- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М ₀ (x ₀ ;y ₀ ) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у ₀ =y’(x ₀ )(x-x ₀ )

Рассмотрим касательную к кривой следовательно



ya ² y ₀ -a ² y ₀ ² +b ² x ₀ x-b ² x ₀ ² =0


- уравнение касательной к эллипсу.
- уравнение касательной к гиперболе.
- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:
(е ₁ ;е ₁ ’)=cos u
(е ₁ ;е ₂ ’)=cos (90+u)= -sin u
(е ₂ ;е ₁ ’)=cos (90-u)=sin u
(е ₂ ;е ₂ ’)=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е ₁ ;е ₁ ’)=(е ₁ , a ₁₁ е ₁ +a ₁₂ е ₂ )= a ₁₁
(е ₁ ;е ₂ ’)= (е ₁ , a ₂₁ е ₁ +a ₂₂ е ₂ )= a ₂₁
(е ₂ ;е ₁ ’)= a ₁₂
(е ₂ ;е ₂ ’)= a ₂₂
Приравниваем:
a ₁₁ =cos u
a ₂₁ = - sin u
a ₁₂ =sin u
a ₂₂ =cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I ₁ ; I ₂ ; I ₃
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I ₂ >0 – элиптический тип
I ₂ <0 – гиперболический тип
I ₂ =0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:
a ₁₁ x’ ² +2a ₁₂ x’y’+a ₂₂ y’ ² +a’ ₃₃ =0 (2)
точка О’ находится из условия: a ₁₃ ’=0 и a ₂₃ ’=0.
Получается система a ₁₁ x ₀ +a ₁₂ y ₀ +a ₁₃ =0 и a ₁₂ x ₀ +a ₂₂ y ₀ +a ₂₃ =0
Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели у x ₀ и y ₀ отличны от нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I _2¹ 0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а ₁₂ =0. a ₁₂ ’= -0,5(a ₁₁ -a ₂₂ )sin2u+a ₁₂ cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:
, после такого преобразования уравнение принимает вид
a ₁₁ ’x’ ² +a ₂₂ ’y’ ² +2a ₁₃ ’x’+2a ₂₃ ’y’+a ₃₃ ’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I ₂ >0 и пусть I ₁ >0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I ₃ <0 – эллипс; 2. I ₃ =0 – точка; 3. I ₃ >0 – ур-е (1) не определяет. Если I ₃ =0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I ₃ >0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I ₂ >0, I ₁ >0, I ₃ <0, тогда
а ₁₁ ’’x’’ ² +a ₂₂ ’’ y’’ ² = -I ₃ /I ₂

I ₂ =a ₁₁ ’’a ₂₂ ’’ > 0
I ₁ = a ₁₁ ’’+a ₂₂ ’’ > 0
a ₁₁ ’’ > 0; a ₂₂ ’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.
2. I ₃ >0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.
3. I ₃ =0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I ₂ <0, I _3¹ 0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I ₃ =0 – пару пересекающихся прямых.
Доказательство: I ₂ <0; I ₂ = a ₁₁ ’’a ₂₂ ’’ < 0. Пусть a ₁₁ ’’>0; a ₂₂ ’’<0
Пусть I ₃ >0

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.
Пусть I ₃ <0
-(-а ₁₁ ’’)x’’ ² +a ₂₂ ’’ y’’ ² = -I ₃ /I ₂

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY
Пусть I ₃ =0
а ₁₁ ’’x’’ ² -(-a ₂₂ ’’)y’’ ² =0



АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a ₁₁ x ² +2a ₁₂ xy+a ₂₂ y ²
Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.
(a, b) – вектор асимптотического направления.
a _11a ² +2a _{12a b} +a _22b ² =0 (*)
Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.
Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.
Решение: положим, что b ¹0 и поделим на b ² , получим: a ₁₁ (a/b) ² +2a _12a /b+a ₂₂ =0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I _2£ 0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I ₂ >0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:

(a, b) ₁ =(a,b)
(a, b) ₂ =(-a,b)
Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y ² =2px
y ² -2px=0
u(x,y)= y ² +0, y=0
(a, b)=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.
Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.
Вектор n – нормальный вектор плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках:
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C) и М(x ₀ ;y ₀ ;z ₀ ). Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax ₀ +By ₀ +Cz ₀ =-D
A(x-x ₀ )+B(y-y ₀ )+C(z-z ₀ )=0

1. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
М ₁ (x ₁ ;y ₁ ;z ₁ ); М ₂ (x ₂ ;y ₂ ;z ₂ ); М ₃ (x ₃ ;y ₃ ;z ₃ )
Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.
М ₁ М x-x ₁ y-y ₁ z-z ₁
М ₁ М ₂ x ₂ -x ₁ y ₂ -y ₁ z ₂ -z ₁ =0
М ₁ М ₃ x ₃ -x ₁ y ₃ -y ₁ z ₃ -z ₁

2. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V ₁ ;V ₂ ;V ₃ ); U(U ₁ ;U ₂ ;U ₃ ); M ₀ (x ₀ ;y ₀ ;z ₀ ), тогда плостость имеет вид: система: x=x ₀ +V ₁ t+U ₁ s и y=y ₀ +V ₂ t+U ₂ s и z=z ₀ +V ₃ t+U ₃ s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M ₀ (x ₀ ;y ₀ ;z ₀ )


ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A ₁ x+B ₁ y+C ₁ z+D ₁ =0; A ₂ x+B ₂ y+C ₂ z+D ₂ =0, поэтому n ₁ (A ₁ ;B ₁ ;C ₁ ); n ₂ (A ₂ ;B ₂ ;C ₂ ). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.