“Виды тригонометрических уравнений”

Виды тригонометрических уравнений.
1. Простейшие тригонометрические уравнения:
Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0.
Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).
sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим
3х - p/4 = (-1) ⁿ arcsin 1/2 + np, nÎZ.
Зх - p/4 = (-1) ⁿ p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1) ⁿ p/6 + p/4 + np, nÎZ;
x = (-1) ⁿ p/18 + p/12 + np/3, nÎZ
Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.
Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =
= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.
Ответ: х 1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x 2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,
или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.
Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.
Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение примет вид
sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;
sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.
По формуле для уравнения cosx = а находим
х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;
x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;
x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;
Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.
2. Двучленные уравнения:
Пример 1. sin3x = sinx.
Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.
Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.
sinx = 0 или cos2x = 0.
x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.
Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.
3. Разложение на множители:
Пример 1. sinx + tgx = sin ² x / cosx
Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p/2 + pn, nÎZ.
sinx + sinx/cosx = sin ² x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.
sinx · cosx + sinx - sin ² x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;
sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;
x1 = pn, nÎZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1;
Ö2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 - x = (-1) ⁿ⁺¹ arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;
x2 = p/4 - (-1) ⁿ⁺¹ · p/4 - pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) ⁿ · p/4 + pn, nÎZ.
Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.
Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I) ⁿ · p/4 + pn, nÎZ.
4. Способ подстановки
Пример 1. 2 sin ² x = 3cosx.
Решение. 2sin ² x - 3cosx = 0; 2 (l - cos ² x) - 3cosx = 0; 2cos ² x + 3cosx - 2 = 0.
Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z ² + 32z - 2=0.
Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -
-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:
cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.
5. Однородные уравнения
Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:
a sin ² x + b sinxcosx + c cos ² x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или
a sin ³ x + b sin ² x cosx + c sinx cos ² x + d sin ³ x = 0 и т.д.
В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin ² x или на cos ² x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.
Пример 1. Ö3sin ² 2x - 2sin4x + Ö3cos ² 2x = 0.
Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.
Получим уравнение Ö3sin ² 2x - 4sin2xcos2x + Ö3cos ² 2x = 0.
Разделим на cos ² 2x. Уравнение примет вид Ö3 tg ² 2x – 4tg2x + Ö3 = 0.
Пусть z = tg2x, тогда Ö3z ² - 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.
z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3
tg2x = Ö3 или tg2x = 1/Ö3
2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;
x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.
Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.
6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с
Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.
Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.
sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ.
Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.
7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.
Пример 1. 1/(Ö3-tgx) – 1/(Ö3 +tgx) = sin2x
Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения
tgx ¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.
Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.
(Ö3 + tgx - Ö3 + tgx)/3 - tg ² x = 2tgx/ (1 + tg ² x); 2tgx / (3 - tg ² x) = 2tgx/(1 + tg ² x)
x1 = pn, nÎZ
Второе уравнение имеет вид
2tg ² x - 2 = 0; tg ² x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
8. Иррациональные тригонометрические уравнения
Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).
Пример 1. Ö( cos ² x + ½) + Ö( sin ² x + ½) = 2.
Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.
cos ² x + ½ + 2 Ö (( cos ² x + ½) ( sin ² x + ½)) + sin ² x + ½ = 4
Ö(( cos ² x + ½) ( sin ² x + ½)) = 1; ( cos ² x + ½) ( sin ² x + ½) = 1
( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;
1 – ¼ cos ² 2x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz
Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.
9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция
Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.
Пример 1. tg(x ² + 5x)ctg 6=1.
Решение. Запишем уравнение в виде tg(x ² +5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х ² + 5х = 6 + pn, nÎZ; х ² + 5х - (6+pn) = 0, nÎz;
Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ± Ö(49 + 4pn))/2, nÎz
Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n ³ -49/4p; n ³ -3.
Литераура:
“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.
(стр. 116 - 125)
“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,
А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,
С . И . Шварцбурд, 1993 г.
(стр. 62 - 78)