Раздел: Точные наукиПлоская задача теории упругостиИз тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см. Схема закрепления пластины. ![]() Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой Ф (х,у)=а 1 х 3 у+а 2 х 3 +а 3 х 2 у+а 4 х 2 +а 5 ху+а 6 у 2 +а 7 ху 2 +а 8 у 3 +а 9 ху 3 Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины. Найти общие выражения для напряжений s х , s у , t ху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины. Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу. Расчет. Дано : а 3 =1/3, а 4 = 1 Е=0,69*10 6 кг/см 2 n=0,33 Решение : 1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению. Ф(х,у)= ![]() Поскольку производные ![]() -бигармоническое уравнение удовлетворяется. 2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю. s х = ![]() s у = ![]() t ху = ![]() 3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям. ![]() 4.Проверяем равновесие пластины ![]() Уравненения равновесия: Sх=0 -Т 5 +Т 6 =0 > 0=0 Sy=0 Т 4 +Т 3 +Т 2 -Т 1 -N 2 +N 1 =0 > 0=0 SM=0 M (T 4 T 3 )=-M(T 2 T 1 ) > 0=0 удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии. 5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А. В этой точке напряжения в основных площадках. s х =0, s у =-1,33, t ху =3,33, Найдем главное напряжение по формуле: ![]() ![]() s max =s I =2,731 МПа s min =s II = -4,061 МПа Находим направление главных осей. ![]() ![]() ![]() 6.Определяем компоненты деформации ![]() 7.Находим компоненты перемещений ![]() Интегрируем полученные выражения ![]() j(у), y(х) –некоторые функции интегрирования ![]() ![]() или ![]() После интегрирования получим ![]() где с 1 и с 2 – постоянные интегрирования С учетом получения выражений для j(у) и y(х) компоненты перемещений имеет вид ![]() Постоянные с 1 , с 2 , и с определяем из условий закрепления пластины: 1) ![]() ![]() 2) v =0 или ![]() 3) u =0 или ![]() Окончательные выражения для функций перемещений u и v ![]() Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.
![]() Масштаб
|