Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

Настоящий реферат рассматривает решения задач некоторых задач отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков (проводившегося г. Сумы). В кратком условии участия было отмечено, что “предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть решены полностью. Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор частных случаев. В некоторых случаях можно решить аналогичную или более простую задачу”. Данный реферат имеет несколько не доведенных до конца задач, либо решенных частично. Также приведены некоторые задач финального тура.
“Геометрические миниатюры”
Условие: Зафиксируем на плоскости АВС и обозначим через S _L , S _M , S _K площади треугольников, вершинами которых есть, соответственно, основания биссектрис, медиан и точек касания вписанной окружности. Доказать, что .
Решение
Решение задачи разобъем на четыре этапа:

1. Докажем, что


2. Докажем, что


3. Докажем, что

1. Из этапов (2) и (3) ясно, что , поэтому докажем, что

Этап 1 : Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС.
Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P, S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда из “отрезки касательных, проведенных из одной точки равны”, следует, что AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.
Составим и решим систему.
Найдем отношение площади PSQ к площади АВС через разность площадей S PSQ = S АВС – (S APQ + S CQS + S BPS).

Аналогично,
и
Тогда из S PSQ = S АВС – (S APQ + S CQS + S BPS) Ю

Подставим значения

Раскрыв скобки, выражение можно записать как

Длины сторон треугольника всегда положительны, значит используем неравенство Коши: . Аналогично, для трех чисел:
Подставим неравенства в числители дробей
.
Итак, отношение площади треугольника PSQ (по условию - S _k ) , вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС: .
Этап 2 : Найдем отношение площади треугольника, вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади данного треугольника АВС.
Пусть АН, BG, CF – биссектрисы АВС, тогда FGH – искомый треугольник. Найдем отношение площадей данного треугольника и FGH.
Обозначим AF = x, BH = y, CG = z. По свойству биссектрис (“биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам”), тогда
Значит,
 
 
По аналогии с предыдущей задачей найдем отношение FBH, HCG, FAG к площади ABC.

Аналогично,
и .
Тогда
Упростив это выражение, получаем .
Теперь, из неравенства Коши ( ) Ю .
Итак, отношение площади треугольника FHG (по условию - S _l ), вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади треугольника АВС - .
Этап 3 : Найдем отношение площади треугольника, образованного основаниями медиан, к данному треугольнику ABC.
Проведем из вершин АВС медианы, пересекающие стороны АВ, ВС и АС соответственно в точках E, R и T.
Рассмотрим AERT.
RT, по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ7 RT.
ER=AT и ER7 AT по этим же признакам Ю AERT – параллелограмм.
Значит Р EAT=Р ERT (*) – по свойству параллелограмма.
Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ERCT, BETR. Из них Ю Р RET = Р RCT, Р RBE = Р ETR (**).
Из (*) и (**) Ю ERT подобен АВС при (по свойству средней линии). По свойству “площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия”, .
Итак, отношение площади треугольника (по условию S _K ), образованного основаниями медиан, к площади данного треугольника АВС - .
Этап 4 : докажем, что .
В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не приведено.
Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями медиан больше площади треугольника, образованного основаниями биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками касания вписанной окружности. ЧТД.
Задача 1 Финального тура
Условие: Решить уравнение xy ² + xy + x ² – 2y – 1 = 0 в целых числах.
Решение
Представим исходное уравнение в виде:

Из этого следует, что х – делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx, где kО Z . Тогда
Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k – число нечетное.
Подставим значения в преобразованное уравнение.

Введем замену: х ₁ = -х. Тогда полученное уравнение примет вид .
Решим данное уравнение относительно х ₁ (очевидно, что ).

1. Рассмотрим случай, когда k = 1.
   
   Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3;
   Ответ: (1;0), (0;-3);
2. Рассмотрим случай, когда k = -1.
   
   Отсюда, х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1;
   Ответ: (-1;0), (-3;1);
3. Рассмотрим случай, когда k = 3.
   Отсюда у = -14.
   Ответ: (-9;-14)
4. Рассмотрим случай, когда k = -3.
   

- нет решений в области целых чисел.
Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения: (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14).
Cумма производных
Условие: Пусть
.
Доказать, что для нечетных - число четное, а для четных - число нечетное.
Решение
Рассмотрим производные P(x):

Далее замечаем, что . Рассмотрим это число:

1. n = 2k..
   4k ² (2k-1) – это число четное.
2. n = 2k+1.
   2k*(2k+1) ² – также число четное.

Отсюда следует, что - число четное при любых допустимых значениях n. Значит,
, как сумма четных чисел, число четное.
Введем некоторую функцию F(x).

Рассмотрим возможные случаи для х:

1. х – число четное

- число нечетное,
- число четное Ю F(x) – нечетное.
Значит, -нечетное число, ЧТД.
2. х – число нечетное

1. n – нечетное
   

- число четное,
- при четном х – четное, значит сумма четна Ю F(x) – четное.

2. n – четное

- число нечетное,
- при четном х – четное, значит сумма нечетна Ю F(x) – четное.
Значит, при любом нечетном х, всегда F(x) будет четной при любом (четном/нечетном) значении n Ю
- четное ЧТД
В результате рассмотренных выше случаев, выводим, что для нечетных - число четное, а для четных - число нечетное.
ЧТД.
Необычное уравнение
Условие: Для m натуральных через P(m), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи, а через S(m) – их сумма. Найти количество k(n) решений уравнения

при n = 2002. Исследуйте величину k(n) решений уравнения.
Решение
Рассмотрим различные случаи числа x.
Пусть в записи х есть ноль, тогда P(x) = 0, значит

Пусть S(x)=y, S(x) = n и в записи числа есть ноль, тогда

Значит, P(S(x)) = P(y) = 0, т.к. число содержит ноль.
S(S(x))=S(y)=n. Имеется бесконечно много решений.
Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S(S(x)) которых равна n.
Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых случаев.
Идем от обратного: S(y)=n где, a+b+c+…+f = n, т.е. от перестановки цифр сумма не меняется.
При n = 2002, S(x) = 4, P(S(x)) = 4, S(S(X)) = 4 – .
Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать относительно х или наоборот.
Задание 6 Финального Тура
Найти все функции , для которых выполняется
Решение
Пусть х = 1.
. Заменим f(y) на а, имеем:
. (*)
Проверим полученную функцию.
y = 1, тогда

Теперь подставим в исходную функцию.

Значит, одно из возможных значений функции - .
Математический Анализ
Условие: Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции (это значит, что для произвольного , существует ), причем функция g непрерывна на сегменте [0;1]; под произодными функции f в конечных точках сегмента [0;1] считаются конечные производные соответственно), для которых f(0)=f(1)=0 и . Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy, через которые могут проходить графики всех функций.
Решение
Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла, но, прежде, распишем определенный интеграл:

Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:
.
Итак,


Значит .

Значит, .
Тогда, .
, т.к. (по условию).

Рассмотрим два случая:

1. y ² = x – x ² (точка лежит на контуре)

Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан угол (угол OMK = 90 ⁰ )
ПРОТИВОРЕЧИЕ !!!
2. 

Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х.
 
Бесконечные Биномиальные Коэффициенты
Условие: упростить выражение .
Решение
Отметим, что если n – четное, что количество членов ряда нечетно, а если n – нечетно, то их количество четно.
Рассмотрим четные и нечетные n.

1. n = 2k + 1 – нечетное

Тогда, ряд будет иметь вид:
.
Зная, что , упростим этот ряд.
.
Видим, что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются, и, т.к. количество их четно, следовательно сумма ряда рана нулю.
, при n = 2k + 1.

2. n = 2k

Этот случай не был решен до конца, но в результате расчетов первых четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана, формула
, где n – четное.
Работа Гончаренко Никиты,
Г. Краматорск, ОШ#35