Матричный анализ
. Функции от матриц.

1. Определение функции.

Df. Пусть – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.
Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: , тогда .
Определение f(A) в общем случае.
Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение , , – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.
Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).
Тогда , т.е. (3), , , .
Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .
Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.
Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.
Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Ю (3) Ю (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g _i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g _i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.
Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).
Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),
Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .
Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).
Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.
Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре .
Пример:
Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица
. Построим f(H ₁ ). Найдем минимальный многочлен H ₁ – последний инвариантный множитель [xE-H ₁ ]:
, d _n-1 =x ² ; d _n-1 =1;
m _x =f _n (x)=d _n (x)/d _n-1 (x)=x ^nЮ 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H ₁ .
, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r ^(n-1) (0)=f ^(n-1) (0) Ю .

2. Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .
Доказательство:
Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:
, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:
Сделаем замену в равенстве:
(*)
Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на , получим:
.
Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что – собственные значения матрицы f(A).
ЧТД.
Свойство № 2. Пусть матрица и – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны .
Доказательство:
Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что , а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны .
ЧТД.
Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, , т.е. , и f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда
Доказательство:
Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Ю одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), , Ю .
ЧТД.
Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица , то
Следствие: Если , то , где f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А.

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1.
Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены l _k (x):
.
Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить .
Построим:
.
Обратим внимание, что .

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .
Построим базисные многочлены:



Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:
.
Возьмем , тогда интерполяционный многочлен
.
Случай № 2.
Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.
Случай № 3.
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
,
где m ₁ +m ₂ +…+m _s =m, deg r(x)<m.
Составим дробно-рациональную функцию:
и разложим ее на простейшие дроби.

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где – некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при .
Если в (**) положить , получим:


Для того, чтобы найти a _k3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент a _ki определяется однозначно.
После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.
.
Пример: Найти f(A), если , где t – некоторый параметр,
.
Найдем минимальный многочлен матрицы А:


.
Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А


Умножим (*) на (х-3)

при х=3
Ю
Умножим (*) на (х-5)

.
Таким образом, - интерполяционный многочлен.

Пример 2.
Если , то доказать, что
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
- характеристический многочлен.



d ₂ (x)=1, тогда минимальный многочлен

.
Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:
Ю функция является определенной на спектре.
Умножим (*) на
Ю .
Умножим (*) на :

.
Вычислим g , взяв производную (**):
. Полагая ,
, т.е. .
Итак, ,
,
,
.
ЧТД.
Пример 3.
Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).
Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А Ю f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены.
.


.
Используем метод неопределенных коэффициентов:




Если f(x)=ln x
f(1)=0 f’(1)=1
f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25
 
4. Простые матрицы.
Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен , где , k _i – алгебраическая кратность корня .
Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению - подпространство, , где r – ранг матрицы .
Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение , а матрица имеет , то имеет кратность .
DF . Размерность называется геометрической кратностью собственного значения .
В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:
Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.
DF . Матрица называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.
Из линейной алгебры следует, что матрица простая тогда и только тогда, когда .
Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x ₁ , x ₂ , …,x _n таких, что , для . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда и .
Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если - собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А’, т.е. существует , что (*) или . Транспонируем (*) и получим (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством.
Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x ₁ , x ₂ , …, x _n и существует n линейно независимых собственных векторов y ₁ , y ₂ ,…,y _n , где x ₁ , x ₂ , …, x _n такие, что , (1); y ₁ , y ₂ ,…,y _n такие, что (2), .
Запишем равенство (1) в виде (3) Ю что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что или (**).
DF . Множества векторов x ₁ , x ₂ , …, x _n и y ₁ , y ₂ ,…,y _n удовлетворяющие условию , т.е. называются квазиортогональными .
Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и .
Очень важной для матриц является следующая теорема:
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x ₁ , x ₂ , …, x _n и y ₁ , y ₂ ,…,y _n – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица , где .
Следствие . Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:

1. 


2. 


3. 

Пример. Показать, что матрица простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А ²⁰ , p(x)=x ²⁰ .
Решение:


Ю
существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.
Найдем правые собственные векторы:


Найдем левые собственные векторы:



Найдем сопутствующие матрицы:


.
5.Спектральное разложение функции f(A).
Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.
Пусть дана матрица и пусть , .
Теорема. Если , а функция f(x) определена на спектре матрицы А и - значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1) , при чем коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве
Доказательство: заметим, что и , где - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами.
ЧТД.
Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.
Теорема . Компонентные матрицы обладают следующими свойствами:

1. 


2. 


3. 


4. 

.
Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.
Пример: Найти компоненты для матрицы .
.
Пусть f(x) определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме .

1. f(x)=1

E=1Z ₁₁ +0Z ₁₂ +1Z ₂₁ =Z ₁₁ +Z ₂₁

2. f(x)=x-4

A-4E=0Z ₁₁ +1Z ₁₂₊ (-2 ₎ Z ₂₁ =Z ₁₂ -2Z ₂₁

3. f(x)=(x-4) ²

(A-4E) ² =4Z ₂₁



.
Таким образом, для любой функции f(x), определенное на спектре матрицы А




.
Пример 2.
Найти компоненты для матрицы
.
Найдем минимальный многочлен матрицы А.

1. f(x)=1

E=Z ₁₁ +Z ₂₁ +Z ₃₁

2. f(x)=x+1

(A+E)=2Z ₂₁ +Z ₃₁ +Z ₁₂

3. f(x)=(x+1) ²

(A+E) ² =4Z ₂₁ +Z ₃₁

4. f(x)=x-1

A-E=-2Z ₁₁ +Z ₁₂ -Z ₃₁


1. f(x)=1 E=Z ₁₁ +Z ₂₁ +Z ₃₁
2. f(x)=x+1 A+E=Z ₁₁ Z ₂₂ +2Z ₃₁
3. f(x)=(x+1) ² (A+E) ² =Z ₁₁ +4Z ₃₁
4. f(x)=x-1 (A-E)=-Z ₁₁ -2Z ₂₁ +Z ₂₂


Z ₃₁ =A
-Z ₂₂ =(A+E) ² -E-3A
Z ₁₂ =Z ₂₂
Z ₁₁ =(E-A)-Z ₂₂
6.Определенные матрицы.
Эрмитовы и квадратичные матрицы.
Пусть А – эрмитова матрица (А ^* =А).
Рассмотрим функцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента.
Рассмотрим:
DF . Функция , где А – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x ₁ , …, x _n , где А – матрица эрмитовой формы.
Очевидно, что если А – действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаем квадратичную форму .
Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг (число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура . Эти числа r, p, гр-r не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц.
DF . Действительная симметрическая матрица А называется положительно определенной , если для .
DF . Действительная симметрическая матрица А называется неотрицательно определенной , если для .
Оба типа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительно определенная матрица невырожденная, т.е. если предположить, что она вырожденная, то , , что противоречит условию.
Теорема № 1. Действительная симметрическая матрица n-го порядка будет определенной ранга тогда и только тогда , когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) – собственные значения равны 0.
Теорема № 2. Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.
Теорема № 3 . Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.
7.Неотрицательные матрицы.
DF . Матрица называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен.
Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц.
Пусть матрицы . Будем говорить, что , если б в частности A>B, если .
Вспомним матрицу перестановки , т.е. матрицы перестановки обязательно ортогональны. Произведение приводит к перестановке столбцов матрицы А.
DF . При матрица называется приводимой матрицей , если существует такая матрица перестановки Р, что совподает с матрицей , где А ₁₁ , А ₁₂ , А ₂₂ – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой .
Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства , получаем
, где , .
и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А ₁₁ и А ₂₂ в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.
Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.
В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.
DF . Пусть р ₁ , р ₂ , …, р _n – n различных точек комплексной плоскости и . Для каждого нулевого элемента матрицы А составим направленную линию от р _i к р _j . Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы .
Например:

 
DF . Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек существует направленный путь .
Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.
8.Теорема Фробениуса-Перона.
Очевидно, что если , то для . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p .
Лемма № 1. Если матрица неотрицательна и неприводима, то .
Доказательство:
Если взять произвольный вектор и , то . И пусть вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим , тогда и разбив матрицу А на блоки следующим образом
мы будем иметь .
Учитывая, что , то , тогда получаем, что , что противоречит неприводимости матрицы.
Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y .
ЧТД.
Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax) _i – i-я координата вектора Ах.
. Из определения следует, что и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение , что .
Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество , такое .
Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим . По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому т.е. для .
Обозначим через наибольшее число, для которого , . – спектральный радиус матрицы А . Если Можно показать, что существует вектор y, что .
Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz).
Интерес к числу r объясняется следующим результатом.
Лемма № 2. Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.
Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц.
Теорема Фробениуса-Перона . Если матрица неотрицательна и неприводима, то:

1. А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;


2. существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.


3. собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.

Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.
Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.
Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.