Моделирование значений случайных векторов

Содержание
1. Аннотация
2. Введение
3. Необходимые сведения
4. Исходные данные и обозначения
5. Вывод неизвестных коэффициентов системы уравнений
6. Реализация программы в среде Matlab
7. Примеры работы программы
8. Заключение
9. Список литературы
1. Аннотация.
Решение многих прикладных задач требует моделирования случайных векторов.
В работе приводится метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих. Для решения этой задачи используется система алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами. По соответствующему алгоритму разработана программа имитации значений векторов по заданной ковариационной матрице и математическим ожиданиям составляющих с треугольной матрицей преобразования. Изучена возможность покоординатных преобразований. Проведена проверка датчика псевдослучайных чисел системы MATLAB.
2. Введение.
Решение многих прикладных задач, таких как проведение модельных (машинных) экспериментов с помощью математического моделирования требует моделирования случайных векторов.
Предполагая определенные свойства объекта исследования и характеристики измерительной аппаратуры, исследователь имитирует результаты измерений, обрабатывает их тем или иным способом и сравнивает результат с заложенными ранее характеристиками объекта. Особенно необходимы такие эксперименты при решении некорректных обратных задач. При этом необходимо моделировать не только закономерное влияние на результат измерения свойств объекта исследования и аппаратные искажения, но и случайные погрешности измерений, т.е. случайные величины (вектора) с заданным законом распределения. Результат эксперимента, как правило, представляет собой массив отсчетов (вольтамперная характеристика, спектр излучения источника света, пространственное распределение яркости в изображении и т.п.).
Если отсчеты считать независимыми случайными величинами (их средние значения отражают какие-то закономерности, но к средним прибавлена случайная погрешность), то задача сводится к генерации значений независимых случайных величин (погрешностей) с нулевым средним и заданным законом распределения. В общем случае эту задачу легко решить с помощью генератора случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1), который встроен практически во все языки программирования высокого уровня.
Однако в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения в различных экспериментальных точках могут быть коррелированны.
Ниже описывается метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих. Для решения этой задачи предлагается использовать систему алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами.
Алгоритм получения очередного случайного вектора заключается в следующем:
— по заданным ковариационным матрицам и математическим ожиданиям составляющих случайных векторов вычисляются значения неизвестных коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений;
— моделируется случайный вектор , координаты которого независимы и имеют заданное одномерное распределение;
— с помощью указанной системы алгебраических уравнений получается случайный вектор .
Доказано, что при выполнении условий реализуемости системы линейных алгебраических уравнений закон распределения координат совпадает с одномерным законом распределения координат , а значения коэффициентов ковариации любой пары равны соответствующим элементам заданной матрицы коэффициентов ковариации.
Моделирующая программа, использующая предложенный метод, определяет значения коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений и проверяет выполнение условий реализуемости этой системы. В случае невыполнения условий реализуемости программа указывает на необходимость корректировки задаваемой матрицы коэффициентов ковариации.
Если указанные условия реализуемости выполнены, то программа позволяет выбрать количество (объем выборки) и размерность моделируемых векторов.
По окончании моделирования программа проверяет соответствие параметров закона распределения координат исходным требованиям, а также находит оценки для полученных в результате моделирования коэффициентов ковариации координат.
Программа реализована в вычислительной среде MATLAB.
3. Необходимые сведения.
Ниже приводятся необходимые сведения и определения из линейной алгебры и теории вероятности.
Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами.

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е.

, .
2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т.е.

.
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

.
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

.
Можно доказать, что для случайных величин и для независимых случайных величин .
Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами.

1. Дисперсия постоянной величины равно нулю, т.е.

, .
2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии возведя его в квадрат, т.е.

.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий, т.е.

.
Можно доказать, что для случайных независимых величин
Линейное преобразование случайных векторов . Предположим, что
- случайный - мерный вектор с математическим ожиданием и корреляционной матрицей . Введем матрицу преобразования размером и сформируем мерный вектор

Можно показать справедливость следующих выражений
, .
- вектор математического ожидания
Если - случайный - мерный вектор, координаты которого являются центрированными случайными величинами, то для выражения

справедливо .
4. Исходные данные и обозначения.
Исходными данными для поставленной задачи являются характеристики моделируемого случайного – мерного вектора :
- ковариационная матрица, , ,
- вектор математического ожидания, .
В качестве вектора берется случайный вектор, координаты которого распределены по нормальному закону с параметрами:
- нулевой вектор математического ожидания, центрированная случайная величина равна самой случайной величине ,
- дисперсия, - ковариационная матрица.
То есть координаты вектора независимы (отсутствует корреляция между компонентами вектора).
Вектор задается с помощью генератора случайных чисел, встроенного в систему MATLAB, для этих целей подходит функция
,
которая формирует массив, соразмерный с матрицей , элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1.
5. Вывод неизвестных коэффициентов системы линейных уравнений.
Координаты выходного вектора могут быть получены из нормально распределенных независимых случайных величин - координат вектор следующим образом:
или
.
Можно переписать систему линейных уравнений в матричном виде:
,
где , , , .
Найдем элементы матрицы , выразив их через элементы матриц , , , .
Так как , поэтому будем рассматривать
центрированные случайные величины, прибавив к которым соответствующие математические ожидания, получим искомые координаты выходного вектора.
Для этого рассмотрим ковариацию двух случайных величин
.
Так как
,
аналогично
,
используя приведенные выше свойства математического ожидания, и учитывая, что из исходных данных , получим
.
т.к. ,
таким образом, между элементами ковариационных матриц , , и элементами матрицы линейного преобразования установлена следующая связь
,
или как было рассмотрено выше выражение в матричном виде
.
Так как нижнетреугольная матрица ( ) и , то


.
Эти рекуррентные соотношения позволяют найти элементы матрицы
по элементам ковариационных матриц, , .
Рассмотрим двумерный массив , где каждый столбец рассматривается как переменная, а каждая строка – как наблюдение. Тогда выборочная матрица ковариации определяется следующим образом:

В системе MATLAB, присутствует функция , которая вычисляет матрицу ковариаций измерений (или выборочную матрицу ковариации).
Выборочная ковариационная матрица позволяет оценить соответствие моделируемых случайных векторов поставленной задачи.
6. Реализация программы в среде Matlab.
clear all;
n=3; размерность случайного вектора
N=100; количество наблюдений (объем выборки)
U=randn(n,N); генерация случайного вектора
cov_u = eye(n,n); ковариационная матрица
cov_ksi = 4*eye(n,n);
cov_ksi=[4 2 3 ; 2 9 6 ; 3 6 16]; ввод ковариационной матрицы
M_ksi=[-10; 0; 10]; ввод матрицы
M_ksi=zeros(n,1);
A=zeros(n,n);
проверка размерности и
if (size(cov_ksi) ~= n) | (size(M_ksi) ~= n)
error('Размерность матрицы сov_ksi или M_ksi не совпадает с n');
end
проверка корректности
for i=1:n,
if det(cov_ksi(1:i,1:i)) <= 0
error('Матрица сov_ksi не положительно определенна');
end
end
вычисление элементов матрицы
for i=1:n,
for j=1:i,
sum=0;
for k=1:(j-1),
sum=sum+A(i,k)*A(j,k)*cov_u(k,k);
end
if i==j
A(i,j)=sqrt((cov_ksi(i,j)-sum)/cov_u(j,j));
else
A(i,j)=(cov_ksi(i,j)-sum)/(A(j,j)*cov_u(j,j));
end
end
end
построение случайного вектора
for i=1:N,
ksi(:,i)=A*U(:,i)+M_ksi;
end
транспонирование матрицы случайных векторов
ksi_t=ksi';
вывод транспонированной матрицы в файл out.txt
save out.txt ksi_t –ASCII
disp('Матрица преобразований A');
A
disp('Выборка входных векторов U');
U
disp('Выходные векторы ksi');
ksi
disp('Исходн. матрица cov_ksi');
cov_ksi
построение выборочной ковариационной матрицы
disp('Выборочн. ков. матрица cov_ksi');
test_cov_ksi=cov(ksi_t)
проверка правильности преобразований
disp('Матрица cov_ksi (проверка правильности преобразований)');
A*cov_u*A'
построение гистограмм для входных и выходных векторов
figure(1);
hist(U',20);
xlabel('Интервалы');
ylabel(sprintf('Количество из g',N));
figure(2);
hist(ksi',50);
xlabel('Интервалы');
ylabel(sprintf('Количество из g',N));figure(1);
7. Примеры работы программы.
№ 1.
Входные данные:
размерность вектора ,
объем выборки ,
, , , , .
Гистограмма нормального распределения всех координат
 
Гистограмма распределения всех координат

№ 2.
Входные данные:
размерность вектора ,
объем выборки ,
, , , .
Выходные данные:
,
Как видно из полученных данных объем выборки недостаточен для оценки с помощью выборочной ковариационной матрицы полученного закона распределения координат, так как ковариационная матрица измерений значительно отличается от заданной. Поэтому увеличим объем выборки.
Гистограмма распределения координат для выборки

Гистограмма распределения координат для выборки
№ 3.
Входные данные:
размерность вектора ,
объем выборки ,
, , , .
Выходные данные:
,
C увеличением объема выборок до элементы выборочной ковариационной матрицы отличаются от желаемых не более чем на 5%.
Гистограмма распределения координат для выборки

Гистограмма распределения координат для выборки

Заключение.
Итогом курсовой работы по теме “Моделирование значений случайных векторов” явилась разработка алгоритма моделирования значений случайных векторов, с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариаций и математическим ожиданием составляющих. Для достижения поставленной цели была изучена система MatLab, с помощью которой была создана моделирующая программа, позволяющая моделировать вектора по заданным параметрам. В программе присутствуют средства проверки соответствия полученных данных условиям поставленной задачи. Результаты работы программы представлены в виде графических данных и в виде сохранения массива полученных векторов в файл.
Список литературы.
1. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 2.:Учеб. Пособие для студентов вузов. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 448 с.
2. Лазарев Ю.Ф. MatLAB 5.x – К.: Издательская группа BHV, 2000. – 384 с.
3. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. В 2-х т. Т. 2 – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. – 303 с.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностия. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. – 564 с.

Моделирование значений случайных векторов
Система линейных уравнений: , или в матричной форме ,	Примеры работы программы.
	Входные данные: размерность вектора , объем выборки , , , , .	Выходные данные: , Объем выборки недостаточен для оценки полученных распределений координат, так как ковариационная матрица измерений значительно отличается от заданной. Поэтому увеличим объем выборки.
где , , , , . Рассматривая ковариацию случайных величин , получаем выражение для элементов ковариационной матрицы ,причем справедливо выражение Далее выражаем неизвестные коэффициенты: Эти рекуррентные соотношения позволяют найти элементы матрицы по элементам ковариационных матриц, , . Выборочная ковариационная матрица определятся выражением	Гистограмма распределения координат для	Гистограмма распределения координат для
	Входные данные: размерность вектора , объем выборки , , , , .	Выходные данные: , C увеличением объема выборок до элементы выборочной ковариационной матрицы отличаются от заданных не более чем на 5%.
	Гистограмма распределения координат для	Гистограмма распределения координат для

Документация по программе MonteCarlo.m

Входные данные:
N – количество моделируемых случайных векторов.
cov_ksi – ковариационная матрица элементов моделируемых случайных векторов.
M_ksi – матрица математического ожидания выходных векторов
n – размерность случайных векторов (вычисляется в программе по заданной ковариационной матрице).
Выходные данные:
ksi – матрица размерности , столбцами которой являются моделируемые случайные векторы.
out.txt – файл – распечатка случайных векторов ksi (сохраняется в той же директории, что и программа).