Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos j , y = r sin j . (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки D S i с помощью координатных линий r = r i (окружности) и j = j i (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
D r j = r j+1 - r j ,
D j i = j i+1 - j i

---

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки D S i с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями r jD j i и D r j ; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
D S i = r j D j i D r j (3)
Что касается ячеек D S ij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки M ij $ S ij для простоты выберем вершину ячейки D S ij с полярными координатами r j и j i . Тогда декартовые координаты точки M ij равны:
x ij = r j cos j i , y ij = r j sin j i .
И следовательно,
f(x ij ,y ij ) = f(r j cos j i , r j sin j i ) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек D S ij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины j i и r j суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Oj r . Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cosj , r sinj )r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами D j i и D r i . Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r 1 (j ), r 1 (j ) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a ,b ]. (рис 2).
Имеем


(8)

Где
F(r,j ) = rf(r cosj , r sinj )

Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена

---

Неравенствами

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: j =0,
j =p /4, r cosj =1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами